Dadas as seguintes funções:
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contínuas
h(x)=lc |1-x|4, & se -1áá
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F): l é uma função densidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a função $ l(x) $ é uma função densidade. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função densidade na matéria de Probabilidade. Basicamente, uma função densidade deve satisfazer duas condições:
Não-negatividade: A função deve ser maior ou igual a zero para todo valor de $ x $.
Integral igual a 1: A integral da função em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Vamos usar essas duas condições para analisar a função $ l(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a função $ l(x) $ é não-negativa. A função está definida como:
l(x) á
Para $ x \geq 0 $, o numerador $ x $ é sempre positivo ou zero, e o denominador $ (x^2 + 1)^2 $ também é sempre positivo. Portanto, $ l(x) \geq 0 $ para todo $ x $. Isso satisfaz a primeira condição de ser uma função densidade.
Passo 3
Agora, vamos verificar a segunda condição: a integral de $ l(x) $ de menos infinito a mais infinito deve ser igual a 1.
Como $ l(x) = 0 $ para $ x < 0 $, só precisamos calcular a integral de $ 0 $ a $ +\infty $:
l(x)
Vamos resolver essa integral usando uma substituição. Seja $ u = x^2 + 1 $, então $ du = 2x dx $, ou seja, $ \frac{du}{2} = x dx $.
Substituindo na integral:
l(x) = 0
Agora, voltamos para $ x $:
x < 0
Avaliando de $ 0 $ a $ +\infty $:
Quando $ x \to +\infty $, $ -\frac{1}{2(x^2 + 1)} \to 0 $
Quando $ x = 0 $, $ -\frac{1}{2(0 + 1)} = -\frac{1}{2} $