Dadas as seguintes funções:
Variáveis Aleatórias Discretas
s(x)=x66, x=1,2,3, cdots, 11 lvert, g(x)=ll 18, & se x=1 3^x-1-16^x-1, & se x=2,3, cdots 0, & caso contrário á
Variáveis Aleatórias Contínuas
h(x)=lc |1-x|4, & se -1áá
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
h é uma função densidade

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ h(x) $ definida da seguinte forma:
h(x) á
O exercício pergunta se essa função $ h $ é uma função densidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função densidade de probabilidade e verificar se $ h(x) $ atende aos critérios necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função densidade de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas. Uma função $ f(x) $ é densidade se:
  1. Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
  2. Integral igual a 1: A integral de $ f(x) $ sobre todo o seu domínio é igual a 1, ou seja:
f(x)
Então, vamos verificar esses dois pontos para a nossa função $ h(x) $.

Passo 3

Primeiro critério: Não-negatividade
Observando a definição de $ h(x) $:
h(x) á
Sabemos que o valor absoluto $ |1-x| $ é sempre não-negativo. Dividindo por 4, que é positivo, a função $ \frac{|1-x|}{4} $ também é não-negativa. Fora do intervalo h(x)=lc |1-x|4, & se -1 < x <= 3 0, & caso contrário , $ h(x) = 0 $, que também é não-negativo. Então, o primeiro critério é atendido.

Passo 4

Segundo critério: Integral igual a 1
Agora, vamos calcular a integral de $ h(x) $ no intervalo onde ela é diferente de zero, ou seja, de h(x) a -1:
3
Vamos resolver essa integral. Primeiro, precisamos lidar com o valor absoluto $ |1 - x| $. Dependendo do valor de $ x $, o que está dentro do valor absoluto pode ser positivo ou negativo. Vamos encontrar onde $ 1 - x $ muda de sinal:
integral-1^3 |1-x|4 , dx
Então, dividimos a integral em dois intervalos: de |1 - x| a x , e de 1 - x a 1 - x = 0 Rightarrow x = 1 .
Para $ -1 < x \leq 1 $:
-1
Para $ 1 < x \leq 3 $:
1
Agora, a integral fica:
1
Vamos calcular cada parte.

Passo 5

Primeira integral:
integral-1^1 1 - x4 , dx = 14 integral-1^1 (1 - x) , dx
Integrando:
14 [ x - x^22 ]-1^1 = 14 [ (1 - 12) - (-1 - 12) ] = 14 ( 12 - (-32) ) = 14 ( 2 ) = 12
Segunda integral:
integral1^3 x - 14 , dx = 14 integral1^3 (x - 1) , dx
Integrando:
14 [ x^22 - x ]1^3 = 14 [ (92 - 3) - (12 - 1) ] = 14 ( 32 - (-12) ) = 14 ( 2 ) = 12

Passo 6

Somando as duas integrais:
12 + 12 = 1
Portanto, a integral de $ h(x) $ sobre todo o seu domínio é igual a 1, atendendo ao segundo critério.

Resposta

Verdadeiro (V): A função $ h(x) $ é uma função densidade.

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