Dadas as seguintes funções:
Variáveis Aleatórias Discretas
Variáveis Aleatórias Contínuas
h(x)=lc |1-x|4, & se -1áá
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F): h é uma função densidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ h(x) $ definida da seguinte forma:
h(x) á
O exercício pergunta se essa função $ h $ é uma função densidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função densidade de probabilidade e verificar se $ h(x) $ atende aos critérios necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função densidade de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas. Uma função $ f(x) $ é densidade se:
Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
Integral igual a 1: A integral de $ f(x) $ sobre todo o seu domínio é igual a 1, ou seja:
f(x)
Então, vamos verificar esses dois pontos para a nossa função $ h(x) $.
Passo 3
Primeiro critério: Não-negatividade
Observando a definição de $ h(x) $:
h(x) á
Sabemos que o valor absoluto $ |1-x| $ é sempre não-negativo. Dividindo por 4, que é positivo, a função $ \frac{|1-x|}{4} $ também é não-negativa. Fora do intervalo h(x)=lc |1-x|4, & se -1 < x <= 3 0, & caso contrário , $ h(x) = 0 $, que também é não-negativo. Então, o primeiro critério é atendido.
Passo 4
Segundo critério: Integral igual a 1
Agora, vamos calcular a integral de $ h(x) $ no intervalo onde ela é diferente de zero, ou seja, de h(x) a -1:
3
Vamos resolver essa integral. Primeiro, precisamos lidar com o valor absoluto $ |1 - x| $. Dependendo do valor de $ x $, o que está dentro do valor absoluto pode ser positivo ou negativo. Vamos encontrar onde $ 1 - x $ muda de sinal:
integral-1^3 |1-x|4 , dx
Então, dividimos a integral em dois intervalos: de |1 - x| a x , e de 1 - x a 1 - x = 0 Rightarrow x = 1 .