Os itens a seguir mostram pontos e um vetor diretor. Para cada item, escreva as equações paramétricas das retas e faça o estudo da posição relativa das mesmas em relação aos eixos ou planos coordenados, sabendo que as retas passam pelo ponto médio do segmento : e
Passo 1
O enunciado dá os pontos
e o vetor diretor
Pede-se a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto médio de e tem direção , e em seguida o estudo da posição dessa reta em relação aos eixos e planos coordenados.
Passo 2
Calculamos o ponto médio de usando a fórmula
Logo,
Passo 3
A equação vetorial da reta é
Em forma paramétrica:
Passo 4
Analisando vec v=(3,2,0): 1. O componente z é zero, então a reta está contida no plano paralelo ao plano xy em z=3. Em particular, é paralela ao plano xy. 2. Como vxneq0 e vyneq0, a reta não é paralela a nenhum dos eixos x ou y. 3. Interseções com planos coordenados:
Plano y=0 (xz-plano): 6+2t=0;Rightarrow;t=-3 ;Rightarrow;(x,y,z)=(-5,0,3)
Plano x=0 (yz-plano): 4+3t=0;Rightarrow;t=-tfrac43 ;Rightarrow;(x,y,z)=(0,tfrac103,3)
Plano z=0 (xy-plano): não há solução porque z(t)=3 é constante neq 0, logo a reta não o intercepta. 4. Ela também não intercepta diretamente nenhum dos eixos x, y ou z, pois para atingir um desses eixos precisaria que duas de suas coordenadas fossem zero simultaneamente, o que não ocorre.
Resposta
Equações paramétricas:
x = 4 + 3t, y = 6 + 2t, z = 3
Posição relativa:
– A reta está contida no plano z=3 (paralela ao plano xy).
– Não é paralela nem aos eixos x ou y (pois vxneq0, vyneq0).
– Intercepta o plano xz em (-5,0,3) e o plano yz em l(0,tfrac103,3r).
– Não intercepta o plano xy nem nenhum dos eixos coordenados.