Os itens a seguir mostram pontos e um vetor diretor. Para cada item, escreva as equações paramétricas das retas e faça o estudo da posição relativa das mesmas em relação aos eixos ou planos coordenados, sabendo que as retas passam pelo ponto médio do segmento A B :
A(1,4,1), B(7,8,5) e v=(3,2,0)

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A(1,4,1), B(7,8,5)
e o vetor diretor
vec v = (3,2,0)
Pede-se a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto médio de AB e tem direção vec v, e em seguida o estudo da posição dessa reta em relação aos eixos e planos coordenados.

Passo 2

Calculamos o ponto médio M de AB usando a fórmula
M = l(xA + xB2,,yA+yB2,,zA+zB2r)
Logo,
M = l(tfrac1+72,,tfrac4+82,,tfrac1+52r) = (4,,6,,3)

Passo 3

A equação vetorial da reta r é
r(t) = M + t,vec v = (4,6,3) + t,(3,2,0)
Em forma paramétrica:
x(t) = 4 + 3t, y(t) = 6 + 2t, z(t) = 3

Passo 4

Analisando vec v=(3,2,0):
1. O componente z é zero, então a reta está contida no plano paralelo ao plano xy em z=3. Em particular, é paralela ao plano xy.
2. Como vxneq0 e vyneq0, a reta não é paralela a nenhum dos eixos x ou y.
3. Interseções com planos coordenados:
  • Plano y=0 ( xz-plano): 6+2t=0;Rightarrow;t=-3 ;Rightarrow;(x,y,z)=(-5,0,3)
  • Plano x=0 ( yz-plano): 4+3t=0;Rightarrow;t=-tfrac43 ;Rightarrow;(x,y,z)=(0,tfrac103,3)
  • Plano z=0 ( xy-plano): não há solução porque z(t)=3 é constante neq 0, logo a reta não o intercepta.
    4. Ela também não intercepta diretamente nenhum dos eixos x, y ou z, pois para atingir um desses eixos precisaria que duas de suas coordenadas fossem zero simultaneamente, o que não ocorre.

Resposta

Equações paramétricas:
x = 4 + 3t, y = 6 + 2t, z = 3
Posição relativa:
– A reta está contida no plano z=3 (paralela ao plano xy).
– Não é paralela nem aos eixos x ou y (pois vxneq0, vyneq0).
– Intercepta o plano xz em (-5,0,3) e o plano yz em l(0,tfrac103,3r).
– Não intercepta o plano xy nem nenhum dos eixos coordenados.

Exercícios relacionados