Dadas as seguintes sucessões numéricas, quais delas são limitadas?
x_{n}=\frac{1}{n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle x_{n}=\frac{1}{n^{3}+1}
e pergunta se ela é limitada.
Lembrando que uma sequência (x_{n}) é limitada se existir M>0 tal que
|x_{n}|\le M\quad\text{para todo }n.

Passo 2

Para todo n\in\mathbb{N} temos n^{3}+1\ge2, pois n\ge1.
Logo
0 < x_{n} = \frac{1}{n^{3}+1} \le \frac{1}{2}.
Isso implica |x_{n}|=x_{n}\le\frac{1}{2} e também x_{n}>0. Portanto (x_{n}) fica presa entre 0 e \tfrac12.

Resposta

A sequência \displaystyle x_{n}=\frac{1}{n^{3}+1} é limitada; basta tomar como cota superior M=\tfrac12 e como cota inferior 0.

Exercícios relacionados