Dadas as seguintes sucessões numéricas, quais delas são limitadas?
x_{n}=\frac{n}{n+1}

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a sequência
x_n = \frac{n}{n+1},\quad n\in\mathbb{N}
é limitada. Para isso, vamos usar noções básicas de desigualdades e de limite para mostrar que existe um intervalo [m,M] que contém todos os termos da sequência.

Passo 2

Observamos que, para todo n\ge1:
  1. Como n>0 e n+1>n, segue
0 < \frac{n}{n+1}\,.
  1. Podemos escrever
\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1},
e como \tfrac{1}{n+1}>0, resulta
\frac{n}{n+1} < 1.
Portanto, para todo n,
0 < x_n < 1,
ou seja, todos os termos ficam dentro do intervalo (0,1).

Resposta

A sequência \displaystyle x_n=\frac{n}{n+1} é limitada, com menor cota 0 e maior cota 1.

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