Dadas as seguintes sucessões numéricas, quais delas são limitadas?
x_{n}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se a sucessão
x_{n} = \Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{n}
é limitada. O conteúdo envolvido é a definição de sucessão limitada: dizemos que (x_n) é limitada se existe um M>0 tal que \lvert x_n\rvert \le M para todo n.

Passo 2

Vamos analisar o valor absoluto de x_n. Temos
\lvert x_n\rvert = \Bigl\lvert \Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)^{n}\Bigr\rvert = \Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{n}.
Como \tfrac12<1, a sequência \bigl(\tfrac12\bigr)^{n} é decrescente e positiva.

Passo 3

Para todo n\in\mathbb{N}, vale
0 \le \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n} \le \tfrac12.
Logo
\lvert x_n\rvert = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n} \le \tfrac12.
Podemos então escolher M=\tfrac12, de modo que \lvert x_n\rvert \le M para todo n.

Passo 4

Encontramos um número M que serve de limite para o valor absoluto dos termos da sucessão, o que prova que (x_n) é limitada.

Resposta

A sucessão \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{n} é limitada.

Exercícios relacionados