Dadas as sequências \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right), defina \left(z_{n}\right) pondo z_{2 n-1}=x_{n} e z_{2 n}=y_{n}. Se \lim x_{n}=\lim y_{n}=a, prove que \lim z_{n}=a.

Passo 1

O enunciado dá isto:
  • Duas sequências \left(x_{n}\right) e \left(y_{n}\right) tais que \lim x_{n}=a e \lim y_{n}=a.
  • A sequência \left(z_{n}\right) é definida intercalando os termos: \,z_{2n-1}=x_{n} e \,z_{2n}=y_{n} para todo n\in\mathbb{N}.
O que devemos provar:
  • Que \lim z_{n}=a; ou seja, que os termos de \left(z_{n}\right) se aproximam de a quando n\to\infty.

Passo 2

Lembrete (definição de limite de sequência, em linguagem precisa e intuitiva).
  • Dizemos que \lim x_{n}=a se, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N_1 tal que
|x_{n}-a|<\varepsilon\quad\text{para todo }n\ge N_1.
Aqui \varepsilon é qualquer tolerância (quão perto queremos ficar de a) e N_1 é um índice a partir do qual todos os termos x_n estão dentro dessa tolerância.
  • De forma análoga, \lim y_{n}=a significa que, para todo \varepsilon>0, existe um inteiro N_2 tal que
|y_{n}-a|<\varepsilon\quad\text{para todo }n\ge N_2.
Nossa meta é mostrar que a mesma propriedade vale para \left(z_{n}\right): para todo \varepsilon>0 existe N tal que |z_n-a|<\varepsilon para todo n\ge N.

Passo 3

Começamos a prova epsilon‑ N. Seja \varepsilon>0 arbitrário (qualquer tolerância).
  • Pela hipótese \lim x_{n}=a, existe N_1\in\mathbb{N} tal que
|x_{n}-a|<\varepsilon\quad\text{para todo }n\ge N_1.
  • Pela hipótese \lim y_{n}=a, existe N_2\in\mathbb{N} tal que
|y_{n}-a|<\varepsilon\quad\text{para todo }n\ge N_2.

Passo 4

Agora vamos escolher um N que funcione para a sequência intercalada \left(z_n\right).
  • Defina M=\max\{N_1,N_2\}. Assim M\ge N_1 e M\ge N_2.
  • Tome N=2M. Vamos mostrar que esse N serve: isto é, para todo n\ge N teremos |z_n-a|<\varepsilon.

Passo 5

Analisamos os dois tipos de índice n (par e ímpar) para n\ge N.
Caso 1 — n é par. Então existe k\in\mathbb{N} tal que n=2k. Como n\ge 2M segue 2k\ge 2M, portanto k\ge M. Como M\ge N_2, temos k\ge N_2. Pela escolha de N_2,
|z_{n}-a| = |z_{2k}-a| = |y_{k}-a|<\varepsilon.
Caso 2 — n é ímpar. Então existe k\in\mathbb{N} tal que n=2k-1. Como n\ge 2M temos 2k-1\ge 2M, isto implica 2k\ge 2M+1 e portanto k\ge M+ \tfrac{1}{2}. Como k é inteiro segue k\ge M+1\ge M. Como M\ge N_1, obtemos k\ge N_1. Pela escolha de N_1,
|z_{n}-a| = |z_{2k-1}-a| = |x_{k}-a|<\varepsilon.
Em ambos os casos, para todo n\ge N fica |z_n-a|<\varepsilon.

Passo 6

Concluímos a prova usando a definição: dado \varepsilon>0 escolhemos N=2\max\{N_1,N_2\}. Para todo n\ge N demonstramos que |z_n-a|<\varepsilon. Assim, por definição de limite de sequência,
\lim z_{n}=a.

Resposta

\displaystyle \lim z_{n}=a

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