Dadas as sequências
e
, defina
pondo
e
. Se
, prove que
.
Passo 1
O enunciado dá isto:
- Duas sequências
e tais que e . - A sequência
é definida intercalando os termos: e para todo .
O que devemos provar:
- Que
; ou seja, que os termos de se aproximam de quando .
Passo 2
Lembrete (definição de limite de sequência, em linguagem precisa e intuitiva).
- Dizemos que
se, para todo , existe um inteiro tal que
Aqui
é qualquer tolerância (quão perto queremos ficar de
) e
é um índice a partir do qual todos os termos
estão dentro dessa tolerância.
- De forma análoga,
significa que, para todo , existe um inteiro tal que
Nossa meta é mostrar que a mesma propriedade vale para
: para todo
existe
tal que
para todo
.
Passo 3
Começamos a prova epsilon‑
. Seja
arbitrário (qualquer tolerância).
- Pela hipótese
, existe tal que
- Pela hipótese
, existe tal que
Passo 4
Agora vamos escolher um
que funcione para a sequência intercalada
.
- Defina
. Assim e . - Tome
. Vamos mostrar que esse serve: isto é, para todo teremos .
Passo 5
Analisamos os dois tipos de índice
(par e ímpar) para
.
Caso 1 —
é par. Então existe
tal que
. Como
segue
, portanto
. Como
, temos
. Pela escolha de
,
Caso 2 —
é ímpar. Então existe
tal que
. Como
temos
, isto implica
e portanto
. Como
é inteiro segue
. Como
, obtemos
. Pela escolha de
,
Em ambos os casos, para todo
fica
.
Passo 6
Concluímos a prova usando a definição: dado
escolhemos
. Para todo
demonstramos que
. Assim, por definição de limite de sequência,