Reescreva as expressões abaixo como uma única série de potências.
Passo 1
O enunciado dá duas séries de potências e pede para escrevê-las como uma única série de potências. As informações fornecidas são:
- Primeira soma:
. - Segunda soma:
.
O que se pede: obter uma única série da forma
(ou equivalente), identificando explicitamente os coeficientes
em função dos
.
Passo 2
Estratégia inicial: para somar séries de potências é preciso que os expoentes de
coincidam. Então vamos reindexar as duas somas para que ambas tenham a forma
com o mesmo índice
começando em
.
Passo 3
Reescrever a primeira soma trocando a variável de soma. Faço a substituição
. Assim
e quando
vai de
até
,
vai de
até
. Portanto:
Aqui cada termo original
virou
.
Passo 4
Reescrever a segunda soma com índice comum. Faço a substituição
. Então
e quando
vai de
até
,
vai de
até
. Logo:
Note que essa soma não possui termo em
(o índice
começa em
), porque corresponderia a
, que não existe.
Passo 5
Agora somo as duas séries reindexadas, ambas em potências de
:
Para formar uma única soma
é preciso escrever o coeficiente
para cada
.
Passo 6
Determinar
separado em
e
:
- Para
: só contribui a primeira soma (a segunda começa em ). Então
- Para
: ambas as somas contribuem, portanto
Passo 7
Escrever a única série de potências com os coeficientes encontrados. Uma forma clara e usual é separar o termo
e depois a soma geral para
:
Outra forma, compacta, é escrever