Reescreva as expressões abaixo como uma única série de potências.
\sum_{n=1}^{\infty} 2 n c_{n} x^{n-1}+\sum_{n=0}^{\infty} 6 c_{n} x^{n+1}

Passo 1

O enunciado dá duas séries de potências e pede para escrevê-las como uma única série de potências. As informações fornecidas são:
  • Primeira soma: \sum_{n=1}^{\infty} 2 n c_{n} x^{n-1}.
  • Segunda soma: \sum_{n=0}^{\infty} 6 c_{n} x^{n+1}.
O que se pede: obter uma única série da forma \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m (ou equivalente), identificando explicitamente os coeficientes a_m em função dos c_n.

Passo 2

Estratégia inicial: para somar séries de potências é preciso que os expoentes de x coincidam. Então vamos reindexar as duas somas para que ambas tenham a forma x^{m} com o mesmo índice m começando em m=0.

Passo 3

Reescrever a primeira soma trocando a variável de soma. Faço a substituição m=n-1. Assim n=m+1 e quando n vai de 1 até \infty, m vai de 0 até \infty. Portanto:
\sum_{n=1}^{\infty} 2 n c_{n} x^{n-1} = \sum_{m=0}^{\infty} 2(m+1)\,c_{m+1}\,x^{m}.
Aqui cada termo original 2n c_n x^{n-1} virou 2(m+1)c_{m+1}x^m.

Passo 4

Reescrever a segunda soma com índice comum. Faço a substituição m=n+1. Então n=m-1 e quando n vai de 0 até \infty, m vai de 1 até \infty. Logo:
\sum_{n=0}^{\infty} 6 c_{n} x^{n+1} = \sum_{m=1}^{\infty} 6\,c_{m-1}\,x^{m}.
Note que essa soma não possui termo em x^{0} (o índice m começa em 1), porque corresponderia a c_{-1}, que não existe.

Passo 5

Agora somo as duas séries reindexadas, ambas em potências de x^{m}:
\sum_{m=0}^{\infty} 2(m+1)\,c_{m+1}\,x^{m} \;+\; \sum_{m=1}^{\infty} 6\,c_{m-1}\,x^{m}.
Para formar uma única soma \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m é preciso escrever o coeficiente a_m para cada m.

Passo 6

Determinar a_m separado em m=0 e m\ge1:
  • Para m=0: só contribui a primeira soma (a segunda começa em m=1). Então
a_0 = 2(0+1)\,c_{0+1} = 2 c_{1}.
  • Para m\ge1: ambas as somas contribuem, portanto
a_m = 2(m+1)\,c_{m+1} + 6\,c_{m-1},\qquad (m\ge1).

Passo 7

Escrever a única série de potências com os coeficientes encontrados. Uma forma clara e usual é separar o termo m=0 e depois a soma geral para m\ge1:
2 c_{1} + \sum_{m=1}^{\infty}\bigl(2(m+1)\,c_{m+1} + 6\,c_{m-1}\bigr)\,x^{m}.
Outra forma, compacta, é escrever
\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m \quad\text{com}\quad a_0=2c_1,\quad a_m=2(m+1)c_{m+1}+6c_{m-1}\\ \text{ para } m\ge1.

Resposta

\displaystyle 2c_{1}+\sum_{m=1}^{\infty}\bigl(2(m+1)c_{m+1}+6c_{m-1}\bigr)x^{m}

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