Um estudante propôs a seguinte expressão para estimar o tempo de secagem em camada de espuma:
Onde:
densidade (
) ;
espessura da camada ( m );
condutividade térmica
diferença de temperatura
coeficiente convectivo
= viscosidade dinâmica (
)
a) Escreva a equação em termos de M, L, T e t
b) Verifique, por análise dimensional, se a equação é homogênea (isto é, se a unidade resultante é uma unidade de tempo).
a) Escreva a equação em termos de M, L, T e t
b) Verifique, por análise dimensional, se a equação é homogênea (isto é, se a unidade resultante é uma unidade de tempo).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- (a) Escrever a equação
em termos das dimensões básicas
,
,
e
(onde aqui
representa a dimensão da temperatura e
a dimensão do tempo).
- (b) Verificar por análise dimensional se essa equação é homogênea, ou seja, se a unidade resultante à direita é a unidade de tempo.
As informações num enunciado (com as unidades dadas) que vamos usar são:
-
(densidade): unidades . -
(espessura): unidades . -
(condutividade térmica): unidades . -
(diferença de temperatura): unidades . -
(coeficiente convectivo): unidades . -
(viscosidade dinâmica): unidades .
Passo 2
Vamos primeiro transformar cada uma dessas unidades para as dimensões básicas
,
,
e
(aqui
é a dimensão do tempo). Para isso é útil lembrar que:
-
e com . -
.
Agora escrevo as dimensões de cada grandeza (tudo em TeX):
Para
(condutividade térmica):
. Como
, obtemos
Para
:
Para
(coeficiente convectivo):
. Usando
,
Para
(viscosidade dinâmica):
. Assim
Por fim, a dimensão do tempo que aparece no lado esquerdo é
Passo 3
Agora calculo a dimensão do primeiro termo da direita:
Substituo as dimensões encontradas:
Simplificando passo a passo (cancelei
e tratei
):
Fazendo a simplificação corretamente:
Logo a dimensão do primeiro termo é
Passo 4
Agora calculo a dimensão do segundo termo da direita:
Substituo as dimensões:
Simplificando:
-
cancela, -
, -
,
portanto
Passo 5
Reunindo os resultados, a análise dimensional da equação dá:
substituindo as dimensões dos termos:
Observação importante: os dois termos do lado direito têm dimensões diferentes um do outro (
versus
), portanto nem entre eles nem em relação ao lado esquerdo (que tem dimensão
) há coerência dimensional.
Passo 6
Conclusão da verificação:
- Os dois termos do lado direito não têm a mesma dimensão entre si, logo não podem ser somados corretamente (uma soma só faz sentido entre grandezas com a mesma dimensão).
- Além disso, nenhum dos termos tem dimensão puramente igual à dimensão do tempo
. Portanto a expressão dada não é homogênea e não resulta numa unidade de tempo.
Um comentário final estilo dica de prova: em análise dimensional sempre verifique as dimensões de cada termo separadamente; se termos somados têm dimensões diferentes, a fórmula está errada independentemente de constantes adimensionais. Se fosse necessário consertar a fórmula, teria que introduzir fatores com dimensões apropriadas (ou funções adimensionais) para uniformizar as dimensões dos termos.
Resposta
a)
b) Não. A equação não é homogênea: os termos do lado direito têm dimensões
e
, que não coincidem entre si nem com a dimensão do tempo
.