Um estudante propôs a seguinte expressão para estimar o tempo de secagem em camada de espuma:
t=\frac{\rho L^{2}}{k \Delta T}+\frac{h L}{\mu}
Onde:
\rho= densidade ( \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} ) ; \mathrm{L}= espessura da camada ( m ); \mathrm{k}= condutividade térmica (\mathrm{W} / \mathrm{mK}) ; \Delta \mathrm{T}= diferença de temperatura (\mathrm{K}) ; \mathrm{h}= coeficiente convectivo \left(\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right) ; \mu = viscosidade dinâmica ( \mathrm{Pa}, \mathrm{s} )
a) Escreva a equação em termos de M, L, T e t
b) Verifique, por análise dimensional, se a equação é homogênea (isto é, se a unidade resultante é uma unidade de tempo).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • (a) Escrever a equação
t=\frac{\rho L^{2}}{k \Delta T}+\frac{h L}{\mu}
em termos das dimensões básicas M, L, T e t (onde aqui T representa a dimensão da temperatura e t a dimensão do tempo).
  • (b) Verificar por análise dimensional se essa equação é homogênea, ou seja, se a unidade resultante à direita é a unidade de tempo.
As informações num enunciado (com as unidades dadas) que vamos usar são:
  • \rho (densidade): unidades \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}.
  • L (espessura): unidades \mathrm{m}.
  • k (condutividade térmica): unidades \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\mathrm{K}^{-1}.
  • \Delta T (diferença de temperatura): unidades \mathrm{K}.
  • h (coeficiente convectivo): unidades \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{K}^{-1}.
  • \mu (viscosidade dinâmica): unidades \mathrm{Pa}\,\mathrm{s}.

Passo 2

Vamos primeiro transformar cada uma dessas unidades para as dimensões básicas M, L, T e t (aqui t é a dimensão do tempo). Para isso é útil lembrar que:
  • \mathrm{W} = \mathrm{J}\,\mathrm{s}^{-1} e \mathrm{J} = \mathrm{N}\,\mathrm{m} com \mathrm{N}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}.
  • \mathrm{Pa} = \mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-2} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}.
Agora escrevo as dimensões de cada grandeza (tudo em TeX):
[\rho] = M L^{-3}.
[L] = L.
Para k (condutividade térmica): \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\mathrm{K}^{-1}. Como \mathrm{W} = M L^{2} t^{-3}, obtemos
[k] = \frac{M L^{2} t^{-3}}{L\,T} = M L\, t^{-3} T^{-1}.
Para \Delta T:
[\Delta T] = T.
Para h (coeficiente convectivo): \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{K}^{-1}. Usando \mathrm{W}=M L^{2} t^{-3},
[h] = \frac{M L^{2} t^{-3}}{L^{2} T} = M\, t^{-3} T^{-1}.
Para \mu (viscosidade dinâmica): \mathrm{Pa}\,\mathrm{s} = (M L^{-1} t^{-2})\cdot t = M L^{-1} t^{-1}. Assim
[\mu] = M L^{-1} t^{-1}.
Por fim, a dimensão do tempo que aparece no lado esquerdo é
[t]=t.

Passo 3

Agora calculo a dimensão do primeiro termo da direita:
\frac{\rho L^{2}}{k \Delta T}.
Substituo as dimensões encontradas:
\frac{[\rho]\,[L]^{2}}{[k]\,[\Delta T]} = \frac{(M L^{-3})\cdot(L^{2})}{(M L\, t^{-3} T^{-1})\cdot T}.
Simplificando passo a passo (cancelei M e tratei T):
\frac{M L^{-1}}{M L\, t^{-3}} = L^{-1}\cdot (L^{-1})^{-1}\cdot t^{3}\\ \text{(mas melhor escrever direto)}.
Fazendo a simplificação corretamente:
\frac{M L^{-1}}{M L\, t^{-3}} = L^{-2} t^{3}.
Logo a dimensão do primeiro termo é
\frac{\rho L^{2}}{k \Delta T} \quad\text{tem dimensão}\quad L^{-2} t^{3}.ã

Passo 4

Agora calculo a dimensão do segundo termo da direita:
\frac{h L}{\mu}.
Substituo as dimensões:
\frac{[h]\,[L]}{[\mu]} = \frac{(M t^{-3} T^{-1})\cdot L}{M L^{-1} t^{-1}}.
Simplificando:
  • M cancela,
  • L / L^{-1} = L^{2},
  • t^{-3} / t^{-1} = t^{-2},
portanto
\frac{h L}{\mu} \quad\text{tem dimensão}\quad L^{2} t^{-2} T^{-1}.ã

Passo 5

Reunindo os resultados, a análise dimensional da equação dá:
[t] \stackrel{?}{=} \frac{\rho L^{2}}{k \Delta T} + \frac{h L}{\mu}
substituindo as dimensões dos termos:
[t] = L^{-2} t^{3} \;+\; L^{2} t^{-2} T^{-1}.
Observação importante: os dois termos do lado direito têm dimensões diferentes um do outro ( L^{-2} t^{3} versus L^{2} t^{-2} T^{-1}), portanto nem entre eles nem em relação ao lado esquerdo (que tem dimensão t) há coerência dimensional.

Passo 6

Conclusão da verificação:
  • Os dois termos do lado direito não têm a mesma dimensão entre si, logo não podem ser somados corretamente (uma soma só faz sentido entre grandezas com a mesma dimensão).
  • Além disso, nenhum dos termos tem dimensão puramente igual à dimensão do tempo t. Portanto a expressão dada não é homogênea e não resulta numa unidade de tempo.
Um comentário final estilo dica de prova: em análise dimensional sempre verifique as dimensões de cada termo separadamente; se termos somados têm dimensões diferentes, a fórmula está errada independentemente de constantes adimensionais. Se fosse necessário consertar a fórmula, teria que introduzir fatores com dimensões apropriadas (ou funções adimensionais) para uniformizar as dimensões dos termos.

Resposta

a) [t]=\dfrac{[\rho][L]^{2}}{[k][\Delta T]}+\dfrac{[h][L]}{[\mu]}=\dfrac{M L^{-3}\,L^{2}}{(M L\, t^{-3} T^{-1})\,T}+ \dfrac{(M t^{-3} T^{-1})\,L}{M L^{-1} t^{-1}}=L^{-2} t^{3}+L^{2} t^{-2} T^{-1}
b) Não. A equação não é homogênea: os termos do lado direito têm dimensões L^{-2} t^{3} e L^{2} t^{-2} T^{-1}, que não coincidem entre si nem com a dimensão do tempo t.

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