Reescreva as expressões abaixo como uma única série de potências.
Passo 1
O enunciado pede: reescrever a soma
como uma única série de potências da forma
.
Informações dadas:
- Existem três somas indexadas por
. - As somas têm potências
, e . - Os coeficientes envolvem
, e .
O objetivo é alinhar as potências (todos com
) e somar os coeficientes correspondentes de cada potência.
Passo 2
Primeira ideia técnica: reindexar séries e aproveitar que termos com fator que zera (por exemplo
para
) podem ser estendidos para começar em
. Vamos manipular cada soma para obter expressões com a potência
.
- A primeira soma já tem potência
. Mudando a letra para (mesma coisa):
Como para
o fator
é zero, podemos estender o início para
sem alterar a soma:
- A segunda soma tem potência
. Faço a substituição , então . Quando vai de a , vai de a . Assim:
- A terceira soma é
Trocando
por
e notando que o termo
é zero (porque fator
anula), podemos escrever
Agora todas as três somas estão indexadas por
com potência
.
Passo 3
Somar termo a termo: para cada
o coeficiente de
é a soma das contribuições das três séries. Então o coeficiente
é
Agrupando os termos que envolvem
:
Passo 4
Simplificar a expressão dentro do parêntese:
Portanto
Podemos também fatorar
se quisermos:
Passo 5
Escrever a série única com o coeficiente
encontrado:
Essa fórmula é válida para todo
; para
e
os termos com
na frente anulam as parcelas apropriadas e o termo resulta corretamente (por exemplo
dá
, como esperado).