Reescreva as expressões abaixo como uma única série de potências.
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_{n} x^{n}+2 \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_{n} x^{n-2}+3 \sum_{n=1}^{\infty} n c_{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede: reescrever a soma
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_{n} x^{n}+2 \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_{n} x^{n-2}+3 \sum_{n=1}^{\infty} n c_{n} x^{n}
como uma única série de potências da forma \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.
Informações dadas:
  • Existem três somas indexadas por n.
  • As somas têm potências x^{n}, x^{n-2} e x^{n}.
  • Os coeficientes envolvem n(n-1)c_n, 2n(n-1)c_n e 3n c_n.
O objetivo é alinhar as potências (todos com x^k) e somar os coeficientes correspondentes de cada potência.

Passo 2

Primeira ideia técnica: reindexar séries e aproveitar que termos com fator que zera (por exemplo k(k-1) para k=0,1) podem ser estendidos para começar em k=0. Vamos manipular cada soma para obter expressões com a potência x^k.
  1. A primeira soma já tem potência x^n. Mudando a letra n para k (mesma coisa):
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_{n} x^{n} \;=\; \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) c_{k} x^{k}.
Como para k=0,1 o fator k(k-1) é zero, podemos estender o início para k=0 sem alterar a soma:
\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) c_{k} x^{k} \;=\; \sum_{k=0}^{\infty} k(k-1) c_{k} x^{k}.
  1. A segunda soma tem potência x^{n-2}. Faço a substituição k=n-2, então n=k+2. Quando n vai de 2 a \infty, k vai de 0 a \infty. Assim:
2 \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) c_{n} x^{n-2} \;=\; 2 \sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) c_{k+2} x^{k}.
  1. A terceira soma é
3 \sum_{n=1}^{\infty} n c_{n} x^{n}.
Trocando n por k e notando que o termo k=0 é zero (porque fator k anula), podemos escrever
3 \sum_{n=1}^{\infty} n c_{n} x^{n} \;=\; 3 \sum_{k=0}^{\infty} k c_{k} x^{k}.
Agora todas as três somas estão indexadas por k com potência x^k.

Passo 3

Somar termo a termo: para cada k\ge 0 o coeficiente de x^k é a soma das contribuições das três séries. Então o coeficiente a_k é
a_k = k(k-1)c_k \;+\; 2(k+2)(k+1)c_{k+2} \;+\; 3k c_k.
Agrupando os termos que envolvem c_k:
k(k-1)c_k + 3k c_k = \big(k(k-1)+3k\big)c_k.

Passo 4

Simplificar a expressão dentro do parêntese:
k(k-1)+3k = k^2 - k + 3k = k^2 + 2k = k(k+2).
Portanto
a_k = k(k+2)c_k + 2(k+2)(k+1)c_{k+2}.
Podemos também fatorar (k+2) se quisermos:
a_k = (k+2)\big(k c_k + 2(k+1)c_{k+2}\big).

Passo 5

Escrever a série única com o coeficiente a_k encontrado:
\sum_{k=0}^{\infty} \big(k(k+2)c_k + 2(k+2)(k+1)c_{k+2}\big) x^{k}.
Essa fórmula é válida para todo k\ge 0; para k=0 e k=1 os termos com k na frente anulam as parcelas apropriadas e o termo resulta corretamente (por exemplo k=0 2\cdot2\cdot1\;c_2=4c_2, como esperado).

Resposta

\sum_{k=0}^{\infty} \big(k(k+2)c_k + 2(k+2)(k+1)c_{k+2}\big) x^{k}

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