Seja A o conjunto de todos os pontos (x, y) tal que -1 <= x <= 1 e -2 <= y <= x^2+1.
Calcule a área da região A.

Passo 1

A questão pede a área da região A definida por -1 ≤ x ≤ 1 e -2 ≤ y ≤ x² + 1. O conteúdo aqui é cálculo de área usando integração simples (integração de uma função diferença entre curvas) e vamos precisar montar um integral iterado em x.

Passo 2

Para calcular a área, lembramos que se uma região é limitada inferiormente por y = g₁(x) e superiormente por y = g₂(x), então a área é dada por integralx=a^bl(g₂(x)-g₁(x)r),dx Aqui temos g₁(x) = -2 e g₂(x) = x² + 1, com a = -1 e b = 1.
Vamos então escrever a integral para a área: Área = integral-1^1l((x^2+1) - (-2)r),dx = integral-1^1(x^2+3),dxÁ A vantagem é que essa integral se separa em duas partes: integral-1^1x^2,dx e integral-1^13,dx.

Passo 3

Para integral-1^1x^2,dx, usamos que x² é função par, então integral-1^1x^2,dx = 2integral0^1x^2,dx = 2cdotx^33|0^1 = 2cdot13 = 23 E para integral-1^13,dx basta multiplicar 3 pelo comprimento do intervalo: integral-1^13,dx = 3cdot(1 - (-1)) = 3cdot2 = 6

Passo 4

Somando as duas partes, a área fica 23 + 6 = 23 + 183 = 203

Resposta

\frac{20}{3}

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