Dadas as soluções e encontre a solução particular usando a equação 1 e depois escreva a solução geral.
$
Y_{p}(t)=-y_{1}(t) \int_{t_{0}}^{t} \frac{y_{2}(s) g(s)}{W\left(y_{1}, y_{2}\right)(s)} d s+y_{2}(t) \int_{t_{0}}^{t} \frac{y_{1}(s) g(s)}{W\left(y_{1}, y_{2}\right)(s)} d s
$
onde é qualquer ponto escolhido convenientemente em I. , para . (Resposta
Passo 1
O enunciado dá a EDO de segunda ordem não homogênea
com soluções da homogênea
e pede que a gente use a fórmula de variação de parâmetros
para encontrar uma solução particular, e depois escreva a solução geral. Vamos precisar do Wronskiano e de reescrever a EDO na forma padrão.
Passo 2
Reescrevendo na forma padrão
dividindo por obtemos
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Passo 3
Calculando o Wronskiano
Passo 4
Montando os integrais de variação de parâmetros
I1(t)=integral^ty2(s)g(s)W(s),ds =integral^ts e^scdot s e^2se^s(s^2+s+1),ds =integral^ts e^2ss^2+s+1,ds,
I2(t)=integral^ty1(s)g(s)W(s),ds =integral^t(1+s)cdot s e^2se^s(s^2+s+1),ds =integral^ts(1+s)e^ss^2+s+1,ds
Passo 5
Avaliação dos integrais (detalhes por partes e frações parciais)
Após decompor numeradores e usar integração por partes, chega-se a
I1(t)=e^2t(t-1)2,(t^2+t+1), I2(t)=e^tt^2+t+1,
tomando as constantes de integração nulas (ou equivalentes a escolher bem t0).