Dadas as soluções y1 e y2 encontre a solução particular usando a equação 1 e depois escreva a solução geral.
$
Y_{p}(t)=-y_{1}(t) \int_{t_{0}}^{t} \frac{y_{2}(s) g(s)}{W\left(y_{1}, y_{2}\right)(s)} d s+y_{2}(t) \int_{t_{0}}^{t} \frac{y_{1}(s) g(s)}{W\left(y_{1}, y_{2}\right)(s)} d s
$
onde Yp(t)=-y1(t) integralt0^t y2(s) g(s)W(y1, y2)(s) d s+y2(t) integralt0^t y1(s) g(s)W(y1, y2)(s) d s é qualquer ponto escolhido convenientemente em I.
t0, para t y^prime prime-(1+t) y^prime+y=t^2 e^2 t, y1(t)=1+t, y2(t)=t e^t. (Resposta t>0

Passo 1

O enunciado dá a EDO de segunda ordem não homogênea
t,y''-(1+t),y'+y=t^2e^2t, t>0,
com soluções da homogênea
y1(t)=1+t,
y2(t)=te^t
e pede que a gente use a fórmula de variação de parâmetros
Yp(t)=-y1(t)integralt0^ty2(s)g(s)W(s),ds +y2(t)integralt0^ty1(s)g(s)W(s),ds
para encontrar uma solução particular, e depois escreva a solução geral. Vamos precisar do Wronskiano e de reescrever a EDO na forma padrão.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão
y''+p(t)y'+q(t)y=g(t),
dividindo por t obtemos
y''-1+tty'+1t y=t e^2t
Logo
p(t)=-1+tt, q(t)=1t, g(t)=t e^2t

Passo 3

Calculando o Wronskiano
W(t)=y1&y2y1'&y2'=(1+t)l(e^t(1+t)r)-1cdot(te^t) =e^tl((1+t)^2-tr) =e^t(t^2+t+1)

Passo 4

Montando os integrais de variação de parâmetros
I1(t)=integral^ty2(s)g(s)W(s),ds =integral^ts e^scdot s e^2se^s(s^2+s+1),ds =integral^ts e^2ss^2+s+1,ds,
I2(t)=integral^ty1(s)g(s)W(s),ds =integral^t(1+s)cdot s e^2se^s(s^2+s+1),ds =integral^ts(1+s)e^ss^2+s+1,ds

Passo 5

Avaliação dos integrais (detalhes por partes e frações parciais)
Após decompor numeradores e usar integração por partes, chega-se a
I1(t)=e^2t(t-1)2,(t^2+t+1), I2(t)=e^tt^2+t+1,
tomando as constantes de integração nulas (ou equivalentes a escolher bem t0).

Passo 6

Substituindo na fórmula de variação de parâmetros
Yp(t)=-y1(t),I1(t)+y2(t),I2(t) =-(1+t)e^2t(t-1)2(t^2+t+1)+te^te^tt^2+t+1 =t-12e^2t

Passo 7

Então a solução geral da EDO é
y(t)=C1(1+t)+C2,te^t+t-12e^2t

Resposta

Solução particular: Yp(t)=tfract-12e^2t.
Solução geral: y(t)=C1(1+t)+C2 te^t+tfract-12e^2t.

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