Dadas as soluções
e
encontre a solução particular usando a equação 1 e depois escreva a solução geral.
$
Y_{p}(t)=-y_{1}(t) \int_{t_{0}}^{t} \frac{y_{2}(s) g(s)}{W\left(y_{1}, y_{2}\right)(s)} d s+y_{2}(t) \int_{t_{0}}^{t} \frac{y_{1}(s) g(s)}{W\left(y_{1}, y_{2}\right)(s)} d s
$
onde
é qualquer ponto escolhido convenientemente em I.
, para
. (Resposta
$
Y_{p}(t)=-y_{1}(t) \int_{t_{0}}^{t} \frac{y_{2}(s) g(s)}{W\left(y_{1}, y_{2}\right)(s)} d s+y_{2}(t) \int_{t_{0}}^{t} \frac{y_{1}(s) g(s)}{W\left(y_{1}, y_{2}\right)(s)} d s
$
onde
Passo 1
O enunciado pede para usar variação de parâmetros numa EDO de Euler:
Temos a equação
Temos a equação
as soluções da homogênea são
e queremos achar a solução particular e depois a solução geral.
Passo 2
Primeiro escrevemos a EDO na forma padrão dividindo tudo por
(válido para
):
Agora o termo não homogêneo é
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, calculamos o Wronskiano
Passo 4
Em seguida precisamos das integrais
Passo 5
Então a solução particular pela fórmula
fica (ignorando constantes de integração internas)
$$Y_{p}(x)=-x^{2}\frac{(\ln x){3}}{3}+x{2}\ln x\frac{(\ln x){2}}{2}=\frac{1}{6}x{2}(\ln x)^{3}.
$$
Passo 6
Por fim, a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
$$y(x)=C_{1}x{2}+C_{2}x{2}\ln x+\frac{1}{6}x^{2}(\ln x)^{3}.
$$