Dadas as soluções y1 e y2 encontre a solução particular usando a equação 1 e depois escreva a solução geral.
$
Y_{p}(t)=-y_{1}(t) \int_{t_{0}}^{t} \frac{y_{2}(s) g(s)}{W\left(y_{1}, y_{2}\right)(s)} d s+y_{2}(t) \int_{t_{0}}^{t} \frac{y_{1}(s) g(s)}{W\left(y_{1}, y_{2}\right)(s)} d s
$
onde Yp(t)=-y1(t) integralt0^t y2(s) g(s)W(y1, y2)(s) d s+y2(t) integralt0^t y1(s) g(s)W(y1, y2)(s) d s é qualquer ponto escolhido convenientemente em I.
t0, para x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=x^2 ln x. (Resposta x>0, y1(x)=x^2, y2(x)=x^2 ln x

Passo 1

O enunciado pede para usar variação de parâmetros numa EDO de Euler:
Temos a equação
x^2y''-3xy'+4y=x^2ln x,
as soluções da homogênea são
y1(x)=x^2, y2(x)=x^2ln x,
e queremos achar a solução particular e depois a solução geral.

Passo 2

Primeiro escrevemos a EDO na forma padrão dividindo tudo por x^2 (válido para x>0):
y''-3xy'+4x^2y=ln x
Agora o termo não homogêneo é g(x)=ln x.

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, calculamos o Wronskiano
W(y1,y2)(x)=x^2 & x^2ln x2x & 2xln x+x=x^2(2xln x+x)-x^2ln xcdot2x=x^3

Passo 4

Em seguida precisamos das integrais
I1(x)=integral y2(s)g(s)W(s),ds=integral s^2ln scdotln ss^3,ds=integral (ln s)^2s,ds=(ln s)^33+C1,
I2(x)=integral y1(s)g(s)W(s),ds=integral s^2cdotln ss^3,ds=integral ln ss,ds=(ln s)^22+C2

Passo 5

Então a solução particular pela fórmula
Yp(x)=-y1(x)I1(x)+y2(x)I2(x)
fica (ignorando constantes de integração internas)
$$Y_{p}(x)=-x^{2}\frac{(\ln x){3}}{3}+x{2}\ln x\frac{(\ln x){2}}{2}=\frac{1}{6}x{2}(\ln x)^{3}.
$$

Passo 6

Por fim, a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
$$y(x)=C_{1}x{2}+C_{2}x{2}\ln x+\frac{1}{6}x^{2}(\ln x)^{3}.
$$

Resposta

y(x)=C1x^2+C2x^2ln x+tfrac16x^2(ln x)^3.

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