Dadas as soluções particulares. Use o wronskiano para verificar se essas funções são linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).
y_{1}(x)=e^{x} \operatorname{sen}(x), \quad y_{2}(x)=e^{x} \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções particulares
y_{1}(x)=e^{x}\sin(x), \quad y_{2}(x)=e^{x}\cos(x)
são linearmente dependentes (L.D.) ou linearmente independentes (L.I.) usando o Wronskiano. O conteúdo envolve definição do Wronskiano para duas funções e cálculo de derivadas.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de y_{1}(x) usando a regra do produto:
y_{1}(x)=e^{x}\sin(x)
y_{1}'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)\sin(x)+e^{x}\frac{d}{dx}\bigl(\sin(x)\bigr) =e^{x}\sin(x)+e^{x}\cos(x) =e^{x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr).

Passo 3

Agora calculamos a derivada de y_{2}(x) também pela regra do produto:
y_{2}(x)=e^{x}\cos(x)
y_{2}'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)\cos(x)+e^{x}\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr) =e^{x}\cos(x)-e^{x}\sin(x) =e^{x}\bigl(\cos(x)-\sin(x)\bigr).

Passo 4

Escrevemos o Wronskiano de y_{1} e y_{2}:
W(y_{1},y_{2})(x) =\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\[6pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} =y_{1}(x)\,y_{2}'(x)-y_{2}(x)\,y_{1}'(x).]

Passo 5

Substituindo y_{1},y_{2},y_{1}',y_{2}' no determinante, obtemos
W(x) =e^{x}\sin(x)\cdot e^{x}\bigl(\cos(x)-\sin(x)\bigr) -e^{x}\cos(x)\cdot e^{x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr).
Fatorando e^{2x}:
W(x)=e^{2x}\bigl[\sin(x)\cos(x)-\sin^{2}(x) -\cos(x)\sin(x)-\cos^{2}(x)\bigr] =e^{2x}\bigl[-\sin^{2}(x)-\cos^{2}(x)\bigr] =-e^{2x}.
Como -e^{2x}\neq 0 para todo x, temos W(x)\neq 0 em qualquer ponto.

Resposta

As funções y_{1} e y_{2} são linearmente independentes (L.I.).

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