Dadas as soluções particulares. Use o wronskiano para verificar se essas funções são linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).
y_{1}(x)=e^{-2 x}, \quad y_{2}(x)=x \cdot e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções \displaystyle y_{1}(x)=e^{-2x} e \displaystyle y_{2}(x)=x\,e^{-2x}
são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) usando o Wronskiano. Vamos lembrar que, para duas funções y_1 e y_2, o Wronskiano é dado por
W(y_1,y_2)(x) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x)\\\ y_1'(x) & y_2'(x) \end{vmatrix} = y_1(x)\,y_2'(x) - y_2(x)\,y_1'(x).

Passo 2

Calculamos as derivadas de cada função:
y_1(x)=e^{-2x} \quad\Longrightarrow\quad y_1'(x) = -2\,e^{-2x},
y_2(x)=x\,e^{-2x} \quad\Longrightarrow\quad y_2'(x) = 1\cdot e^{-2x} + x\cdot(-2\,e^{-2x}) = (1-2x)\,e^{-2x}.

Passo 3

Substituímos em
W(y_1,y_2)(x) = y_1(x)\,y_2'(x) - y_2(x)\,y_1'(x)
para obter
W(y_1,y_2)(x) = e^{-2x}\,\bigl[(1-2x)\,e^{-2x}\bigr] - \bigl[x\,e^{-2x}\bigr]\,\bigl[-2\,e^{-2x}\bigr].
Isso simplifica-se a
W(y_1,y_2)(x) = (1-2x)\,e^{-4x} + 2x\,e^{-4x} = e^{-4x}\,\bigl(1-2x+2x\bigr) = e^{-4x}.

Passo 4

Observamos que \displaystyle e^{-4x} é sempre positivo (não nulo) para todo x\in\mathbb{R}. Como o Wronskiano não se anula em nenhum ponto do domínio, concluímos que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.

Resposta

As funções y_{1}(x)=e^{-2x} e y_{2}(x)=x\,e^{-2x} são linearmente independentes (L.I.).

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