Dadas as soluções particulares. Use o wronskiano para verificar se essas funções são linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).
y_{1}(x)=x^{2}+5 x, \quad y_{2}(x)=x^{2}-5 x

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções particulares
y_{1}(x)=x^{2}+5x,\quad y_{2}(x)=x^{2}-5x
e pede para usar o Wronskiano para verificar se elas são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.). O conteúdo aqui é a definição de Wronskiano para duas soluções de segunda ordem:
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\[6pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix}.]

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas:
y_{1}'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}+5x)=2x+5, \qquad y_{2}'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}-5x)=2x-5.

Passo 3

Agora montamos o Wronskiano e expandimos o determinante:
W(y_{1},y_{2})(x) =(x^{2}+5x)(2x-5)-(x^{2}-5x)(2x+5).
Desenvolvendo cada produto:
(x^{2}+5x)(2x-5)=2x^{3}+5x^{2}-25x, \quad (x^{2}-5x)(2x+5)=2x^{3}-5x^{2}-25x.
Subtraindo:
W(y_{1},y_{2})(x) =(2x^{3}+5x^{2}-25x)-(2x^{3}-5x^{2}-25x) =10x^{2}.

Passo 4

Como o Wronskiano é
W(y_{1},y_{2})(x)=10x^{2},
ele não é identicamente zero (é zero apenas em x=0, mas não em todo intervalo). Portanto as funções são linearmente independentes (L.I.) em qualquer intervalo onde x\neq0.

Resposta

As funções y_{1} e y_{2} são linearmente independentes (L.I.).

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