Dadas as soluções particulares. Use o wronskiano para verificar se essas funções são linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).
y_{1}(x)=\cos (x), \quad y_{2}(x)=\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado fornece duas soluções particulares
y_{1}(x)=\cos(x),\quad y_{2}(x)=\sin(x)
e pede para verificar, usando o wronskiano, se elas são linearmente dependentes (L.D.) ou linearmente independentes (L.I.). O conteúdo aqui é o teste de independência linear de soluções de uma EDO usando o wronskiano.

Passo 2

O wronskiano de y_{1} e y_{2} é definido por
W(y_{1},y_{2})(x) = \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\\ y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix}.
Primeiro calculamos as derivadas:
y_{1}'(x) = -\sin(x), \quad y_{2}'(x) = \cos(x).

Passo 3

Substituindo no determinante, temos
W(y_{1},y_{2})(x) = \begin{vmatrix} \cos(x) & \sin(x)\\\\ -\sin(x) & \cos(x) \end{vmatrix} = \cos(x)\cdot\cos(x) - \sin(x)\cdot(-\sin(x)) = \cos^{2}(x) + \sin^{2}(x).
Como \cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1 para todo x, obtemos
W(y_{1},y_{2})(x)=1\neq0.

Passo 4

O fato de o wronskiano ser diferente de zero em todo o domínio indica que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.

Resposta

As funções y_{1}(x)=\cos(x) e y_{2}(x)=\sin(x) são linearmente independentes.

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