Encontre o maior intervalo I ao qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução que são diferenciáveis de classe C^{2}. Obs.: NÃO tente encontrar as soluções.
\begin{array}{r} x^{2}(x-2) y^{\prime \prime}-x(x+2)^{2} y^{\prime}+(x+2) y=0 \\ y(1)=0, \quad y^{\prime}(1)=-1 \end{array}

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
x^{2}(x-2)\,y'' - x(x+2)^{2}\,y' + (x+2)\,y = 0
com
y(1)=0,\quad y'(1)=-1,
e pede o maior intervalo I contendo x_{0}=1 no qual existe solução única de classe C^{2}. O conteúdo usado será o teorema de existência e unicidade para EDOs lineares de segunda ordem.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por x^{2}(x-2). Obtemos
y'' - \frac{(x+2)^{2}}{x(x-2)}\,y' + \frac{x+2}{x^{2}(x-2)}\,y = 0.
Dessa forma, os coeficientes são
P(x) = -\frac{(x+2)^{2}}{x(x-2)}, \quad Q(x) = \frac{x+2}{x^{2}(x-2)}.

Passo 3

Pelo teorema de existência e unicidade, para haver solução única de classe C^{2} em torno de x_{0} precisamos que P(x) e Q(x) sejam contínuos num intervalo que contenha x_{0} e que o coeficiente de y'', aqui x^{2}(x-2), seja não nulo nesse intervalo. As descontinuidades ocorrem em x=0 e em x=2.

Passo 4

Como x_{0}=1, o maior intervalo aberto que contém 1 e que não atinge 0 nem 2 é
(0,2).

Resposta

(0,2)

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