Dadas as transformações lineares F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \in G: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tais que F(x, y, z)= (x-2 y+z, x-z) e G(x, y)=(x+y,-2 x, x-y),
encontre G \circ F e, caso exista, (G \circ F)^{-1}.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Encontrar a composição G\circ F, isto é, a transformação linear que primeiro aplica F e depois aplica G.
Decidir se (G\circ F)^{-1} existe; se existir, encontrá-la.
Representação matricial (para facilitar testes de inversibilidade):
Uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 pode ser escrita como T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, onde A é a matriz 3\times3 cujas linhas são os coeficientes dos componentes.
Pela expressão encontrada:
Critério de existência de inversa e cálculo do determinante (aula curta):
Para uma transformação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita, T é invertível se, e somente se, a matriz A associada for inversível. Uma forma prática de testar isso é calcular o determinante: A é inversível iff \det(A)\neq 0.
Vou calcular \det(A) desenvolvendo pela primeira linha (mostrando as contas para você poder repetir na prova).
(Resumo do raciocínio: é fácil cometer erro de sinal ao aplicar a fórmula; por isso gosto de lembrar explicitamente o fator (-1)^{1+j} quando desenvolvo.)]
Passo 6
Consequência e verificação alternativa (enquanto tira o medo da prova):
Como [\det(A)=0), a matriz A não é invertível e, portanto, (G\circ F)^{-1} não existe.
Para reforçar e ver concretamente que a aplicação não é injetiva, podemos resolver A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} e encontrar um vetor não-nulo no núcleo.
Da primeira equação obtemos 2x-2y=0\Rightarrow x=y\].
Da terceira equação obtemos \(-2y+2z=0\Rightarrow y=z.
Com x=y e y=z segue x=y=z. Tomando x=y=z=1 vemos que