Dadas as transformações lineares F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \in G: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tais que F(x, y, z)= (x-2 y+z, x-z) e G(x, y)=(x+y,-2 x, x-y),
encontre G \circ F e, caso exista, (G \circ F)^{-1}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar a composição G\circ F, isto é, a transformação linear que primeiro aplica F e depois aplica G.
  • Decidir se (G\circ F)^{-1} existe; se existir, encontrá-la.
Informações dadas (tudo que podemos usar):
F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad F(x,y,z)= (x-2y+z,\; x-z),
G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3,\qquad G(u,v)=(u+v,\; -2u,\; u-v).
Nenhuma outra informação (como bases diferentes) foi fornecida, então usaremos as bases canônicas e operações usuais.

Passo 2

Entendendo a composição e como calculá-la (aula prática rápida):
  • Compor G com F significa aplicar F a (x,y,z) para obter um par (u,v) e em seguida aplicar G a esse par.
  • Portanto, se F(x,y,z)=(u,v) com u e v expressos em termos de x,y,z, então
(G\circ F)(x,y,z)=G\big(u(x,y,z),\,v(x,y,z)\big).
Vou calcular passo a passo os componentes: primeiro escrevo u e v a partir de F.
Pela definição de F:
u = x-2y+z,
v = x-z.

Passo 3

Agora substituo u e v na fórmula de G(u,v). Lembre-se que
G(u,v)=(u+v,\; -2u,\; u-v).
Substituindo:
  • Primeiro componente:
u+v = (x-2y+z) + (x-z) = 2x - 2y.
  • Segundo componente:
-2u = -2(x-2y+z) = -2x + 4y - 2z.
  • Terceiro componente:
u-v = (x-2y+z) - (x-z) = -2y + 2z.
Portanto, escrevendo tudo junto:
(G\circ F)(x,y,z) = \big(2x-2y,\; -2x+4y-2z,\; -2y+2z\big).

Passo 4

Representação matricial (para facilitar testes de inversibilidade):
  • Uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 pode ser escrita como T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, onde A é a matriz 3\times3 cujas linhas são os coeficientes dos componentes.
    Pela expressão encontrada:
(G\circ F)(x,y,z)= \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0\\[4pt] -2 & 4 & -2\\[4pt] 0 & -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Chamo essa matriz de
A=\begin{pmatrix} 2 & -2 & 0\\[4pt] -2 & 4 & -2\\[4pt] 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Critério de existência de inversa e cálculo do determinante (aula curta):
  • Para uma transformação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita, T é invertível se, e somente se, a matriz A associada for inversível. Uma forma prática de testar isso é calcular o determinante: A é inversível iff \det(A)\neq 0.
    Vou calcular \det(A) desenvolvendo pela primeira linha (mostrando as contas para você poder repetir na prova).
Calculemos:
\det(A)= 2\cdot\det\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora os menores:
\det\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix} =4\cdot 2 - (-2)\cdot(-2)=8 - 4 = 4.
\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix} =(-2)\cdot 2 - (-2)\cdot 0 = -4 - 0 = -4.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot 4 -(-2)\cdot(-4) = 8 - (+2)\cdot(-4).
Cuidado com os sinais: -(-2)=+2, mas temos a multiplicação por -4, logo
\det(A)=8 - 2\cdot(-4) = 8 - (-8) = 8 + 8 = 16.
Espera — isso está inconsistente com o cálculo feito anteriormente na análise. Vou refazer com atenção ao sinal do segundo termo:
Reescrevendo corretamente o desenvolvimento pela primeira linha:
\det(A)= a_{11}\,C_{11} + a_{12}\,C_{12} + a_{13}\,C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}). Com a_{11}=2,\\ a_{12}=-2,\\ a_{13}=0:
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix} +(-2)\cdot(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Note que (-1)^{1+2}=(-1)^3=-1. Então o segundo termo fica
(-2)\cdot(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix} = +2\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Agora usamos os menores já calculados:
\det(A)= 2\cdot 4 + 2\cdot(-4) = 8 - 8 = 0.
Este resultado é o correto: \det(A)=0.
(Resumo do raciocínio: é fácil cometer erro de sinal ao aplicar a fórmula; por isso gosto de lembrar explicitamente o fator (-1)^{1+j} quando desenvolvo.)]

Passo 6

Consequência e verificação alternativa (enquanto tira o medo da prova):
  • Como [\det(A)=0), a matriz A não é invertível e, portanto, (G\circ F)^{-1} não existe.
  • Para reforçar e ver concretamente que a aplicação não é injetiva, podemos resolver A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} e encontrar um vetor não-nulo no núcleo.
Sistema associado:
\begin{cases} 2x - 2y + 0z = 0,\\[4pt] -2x + 4y - 2z = 0,\\[4pt] 0x - 2y + 2z = 0. \end{cases}
Da primeira equação obtemos 2x-2y=0\Rightarrow x=y\]. Da terceira equação obtemos \(-2y+2z=0\Rightarrow y=z.
Com x=y e y=z segue x=y=z. Tomando x=y=z=1 vemos que
A\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
portanto há núcleo não trivial (vetores escalares de (1,1,1)), confirmando a não-injetividade e, por consequência, a não-inversibilidade.]

Resposta

(G\circ F)(x,y,z)=\big(2x-2y,\; -2x+4y-2z,\; -2y+2z\big)
(G\circ F)^{-1}\\ \text{não existe (a transformação não é invertível).}ãçããéí

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