Dadas as transformações lineares S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} e T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tais que,
S\left(\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} x+z \\\\ 2 x+y+z \\\\ -y+z \end{array}\right] \text { e } T\left(\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} -2 x+y-z \\\\ 3 x+y+2 z \end{array}\right]
determine bases e as dimensões para núcleo e imagem de T \circ S e S^{2}=S \circ S.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definidas por
S\left(\left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+z\\\ 2x+y+z\\\ -y+z\end{array}\right],
T\left(\left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}-2x+y-z\\\ 3x+y+2z\end{array}\right].
O que se pede:
  1. Determinar uma base e a dimensão do núcleo ( \ker) de T\circ S.
  2. Determinar uma base e a dimensão da imagem ( \operatorname{Im}) de T\circ S.
  3. Determinar uma base e a dimensão do núcleo de S^{2}=S\circ S.
  4. Determinar uma base e a dimensão da imagem de S^{2}.
As informações relevantes dadas são as fórmulas explícitas de S e T. Não se pede mudança de base nem nada além de encontrar núcleos e imagens (ou seja, núcleos e colunas/imagens das matrizes correspondentes).

Passo 2

Vamos transformar S e T em matrizes nas bases canônicas; isso facilita compor e estudar núcleos/imagens. Lembrando: a matriz de uma transformação linear em relação à base canônica tem como colunas as imagens dos vetores canônicos \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3.
Calculemos a matriz de S. Aplicando S aos vetores canônicos:
S(\mathbf{e}_1)=S\left(\left[\begin{array}{c}1\\\ 0\\\ 0\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}1\\\ 2\\\ 0\end{array}\right], \quad S(\mathbf{e}_2)=S\left(\left[\begin{array}{c}0\\\ 1\\\ 0\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}0\\\ 1\\\ -1\end{array}\right],
S(\mathbf{e}_3)=S\left(\left[\begin{array}{c}0\\\ 0\\\ 1\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}1\\\ 1\\\ 1\end{array}\right].
Portanto a matriz de S (que chamaremos de A) é
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\[4pt]2 & 1 & 1\\[4pt]0 & -1 & 1\end{array}\right].
Agora a matriz de T. Aplicando T aos vetores canônicos:
T(\mathbf{e}_1)=\left[\begin{array}{c}-2\\\ 3\end{array}\right], \quad T(\mathbf{e}_2)=\left[\begin{array}{c}1\\\ 1\end{array}\right], \quad T(\mathbf{e}_3)=\left[\begin{array}{c}-1\\\ 2\end{array}\right].
Assim a matriz de T (chamemos de B) é
B=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & -1\\[4pt]3 & 1 & 2\end{array}\right].
Explicação didática curta: compor T\circ S corresponde a multiplicar as matrizes na ordem B\cdot A. A imagem de uma transformação é o espaço gerado pelas colunas da sua matriz; o núcleo é o conjunto de vetores que a matriz envia para o vetor zero, isto é, solução do sistema homogêneo M\mathbf{v}=\mathbf{0}. O teorema posto: \dim\ker(M)+\operatorname{rank}(M)= número de colunas de M (teorema do posto-nuloidade), que usaremos.]

Passo 3

Calculemos a matriz de T\circ S\): \[M=B\cdot A.
Multiplicando B por A (fazer produto linha-por-coluna):
M=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & -2\\[4pt]5 & -1 & 6\end{array}\right].
(Detalhe do cálculo: por exemplo a entrada M_{11}=(-2)\cdot1+1\cdot2+(-1)\cdot0=0; M_{12}=(-2)\cdot0+1\cdot1+(-1)\cdot(-1)=2, etc.)
Analisemos agora \operatorname{Im}(T\circ S) e \ker(T\circ S).
  1. Dimensão da imagem: as linhas (ou colunas) mostram que M tem posto 2 porque as duas linhas (0,2,-2) e (5,-1,6) são linearmente independentes (não existe escalar que transforme uma na outra: a primeira componente da primeira linha é 0 e da segunda é 5). Como M é 2\times 3, o posto máximo é 2; aqui o posto é 2. Portanto
\dim\operatorname{Im}(T\circ S)=2.
Como \operatorname{Im}(T\circ S)\subseteq\mathbb{R}^2 e tem dimensão 2, conclui-se que \operatorname{Im}(T\circ S)=\mathbb{R}^2. Uma base natural para \mathbb{R}^2 é \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}. Também podemos dar como base as duas primeiras colunas independentes de M:
\left\{\left[\begin{array}{c}0\\\ 5\end{array}\right],\;\left[\begin{array}{c}2\\\ -1\end{array}\right]\right\}.
  1. Dimensão do núcleo: aplicando posto-nuloidade para uma matriz 2\times3,
\dim\ker(M)=3-\operatorname{rank}(M)=3-2=1.
Para obter uma base do núcleo, resolvemos M\left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right]=\mathbf{0}, isto é o sistema
\begin{cases} 0\cdot x + 2y -2z = 0,\\[4pt] 5x - y + 6z =0. \end{cases}
Da primeira equação obtemos y=z\]. Substituindo na segunda: \[5x - z + 6z = 0 \implies 5x +5z =0 \implies x = -z.\] Logo um vetor genérico no núcleo é \(\left[\begin{array}{c}-z\z\z\end{array}\right]=z\left[\begin{array}{c}-1\\\ 1\\\ 1\end{array}\right]. Assim
\ker(T\circ S)=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\\ 1\\\ 1\end{array}\right]\right\}, \quad \dim\ker(T\circ S)=1.]

Passo 4

Agora estudamos S^2=S\circ S\). A matriz de \(S^2\) é \(A^2=A\cdot A\). Façamos o produto: \[A^2=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2\\[4pt]4 & 0 & 4\\[4pt]-2 & -2 & 0\end{array}\right].
(Detalhe: por exemplo (A^2)_{11}=1\cdot1+0\cdot2+1\cdot0=1; (A^2)_{12}=1\cdot0+0\cdot1+1\cdot(-1)=-1, etc.)
Analisemos \operatorname{Im}(S^2) e \ker(S^2). Observando as colunas de A^2:
c_1=\left[\begin{array}{c}1\\\ 4\\\ -2\end{array}\right],\quad c_2=\left[\begin{array}{c}-1\\\ 0\\\ -2\end{array}\right],\quad c_3=\left[\begin{array}{c}2\\\ 4\\\ 0\end{array}\right].
Verificamos que existe dependência linear entre as colunas: calculando combinações, encontramos
c_3 = 1\cdot c_1 + (-1)\cdot c_2.
(Efetivamente, 1\cdot[1,4,-2]^T + (-1)\cdot[-1,0,-2]^T = [1+1,4+0,-2+2]^T = [2,4,0]^T = c_3.)
Como há uma dependência não-trivial entre as três colunas e c_1 e c_2 são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), segue que \operatorname{rank}(A^2)=2. Então
\dim\operatorname{Im}(S^2)=2.
Uma base conveniente para \operatorname{Im}(S^2) é \{c_1,c_2\}, ou seja
\left\{\left[\begin{array}{c}1\\\ 4\\\ -2\end{array}\right],\;\left[\begin{array}{c}-1\\\ 0\\\ -2\end{array}\right]\right\}.
Pela fórmula do posto-nuloidade, como A^2 é 3\times3 com posto 2,
\dim\ker(A^2)=3-2=1.
Resolvendo A^2\left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right]=\mathbf{0} (sistema)
\begin{cases} x - y + 2z = 0,\\[4pt] 4x + 0y + 4z =0,\\[4pt] -2x -2y + 0z =0, \end{cases}
da segunda equação vem 4x+4z=0\Rightarrow x=-z\]. Da terceira vem \(-2x-2y=0\Rightarrow y=-x. Substituindo x=-z obtemos y=-(-z)=z. Verificando na primeira: (-z)-z+2z=0. Portanto o espaço de soluções é
\left\{\left[\begin{array}{c}-z\z\z\end{array}\right]: z\in\mathbb{R}\right\}=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\\ 1\\\ 1\end{array}\right]\right\}.
Assim
\ker(S^2)=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\\ 1\\\ 1\end{array}\right]\right\}, \quad \dim\ker(S^2)=1.]

Resposta

T\circ S:\ \ker(T\circ S)=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\\ 1\\\ 1\end{array}\right]\right\},\\ \dim\ker(T\circ S)=1
\operatorname{Im}(T\circ S)=\mathbb{R}^2 (base, por exemplo, \left\{\left[\begin{array}{c}0\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\\ 0\end{array}\right]\right\}), \dim\operatorname{Im}(T\circ S)=2
S^{2}:\ \ker(S^2)=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\\ 1\\\ 1\end{array}\right]\right\},\\ \dim\ker(S^2)=1
\operatorname{Im}(S^2)=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{c}1\\\ 4\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\\ 0\\\ -2\end{array}\right]\right\},\\ \dim\operatorname{Im}(S^2)=2

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