Dadas as transformações lineares S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} e T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tais que,
S\left(\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} x+z \\\\ 2 x+y+z \\\\ -y+z \end{array}\right] \text { e } T\left(\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} -2 x+y-z \\\\ 3 x+y+2 z \end{array}\right]
determine bases e as dimensões para núcleo e imagem de T \circ S e S^{2}=S \circ S.
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares S:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definidas por
Determinar uma base e a dimensão do núcleo (\ker) de T\circ S.
Determinar uma base e a dimensão da imagem (\operatorname{Im}) de T\circ S.
Determinar uma base e a dimensão do núcleo de S^{2}=S\circ S.
Determinar uma base e a dimensão da imagem de S^{2}.
As informações relevantes dadas são as fórmulas explícitas de S e T. Não se pede mudança de base nem nada além de encontrar núcleos e imagens (ou seja, núcleos e colunas/imagens das matrizes correspondentes).
Passo 2
Vamos transformar S e T em matrizes nas bases canônicas; isso facilita compor e estudar núcleos/imagens. Lembrando: a matriz de uma transformação linear em relação à base canônica tem como colunas as imagens dos vetores canônicos \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3.
Calculemos a matriz de S. Aplicando S aos vetores canônicos:
Explicação didática curta: compor T\circ S corresponde a multiplicar as matrizes na ordem B\cdot A. A imagem de uma transformação é o espaço gerado pelas colunas da sua matriz; o núcleo é o conjunto de vetores que a matriz envia para o vetor zero, isto é, solução do sistema homogêneo M\mathbf{v}=\mathbf{0}. O teorema posto: \dim\ker(M)+\operatorname{rank}(M)= número de colunas de M (teorema do posto-nuloidade), que usaremos.]
Passo 3
Calculemos a matriz de T\circ S\):
\[M=B\cdot A.
Multiplicando B por A (fazer produto linha-por-coluna):
(Detalhe do cálculo: por exemplo a entrada M_{11}=(-2)\cdot1+1\cdot2+(-1)\cdot0=0; M_{12}=(-2)\cdot0+1\cdot1+(-1)\cdot(-1)=2, etc.)
Analisemos agora \operatorname{Im}(T\circ S) e \ker(T\circ S).
Dimensão da imagem: as linhas (ou colunas) mostram que M tem posto 2 porque as duas linhas (0,2,-2) e (5,-1,6) são linearmente independentes (não existe escalar que transforme uma na outra: a primeira componente da primeira linha é 0 e da segunda é 5). Como M é 2\times 3, o posto máximo é 2; aqui o posto é 2. Portanto
\dim\operatorname{Im}(T\circ S)=2.
Como \operatorname{Im}(T\circ S)\subseteq\mathbb{R}^2 e tem dimensão 2, conclui-se que \operatorname{Im}(T\circ S)=\mathbb{R}^2. Uma base natural para \mathbb{R}^2 é \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}. Também podemos dar como base as duas primeiras colunas independentes de M:
Dimensão do núcleo: aplicando posto-nuloidade para uma matriz 2\times3,
\dim\ker(M)=3-\operatorname{rank}(M)=3-2=1.
Para obter uma base do núcleo, resolvemos M\left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right]=\mathbf{0}, isto é o sistema
\begin{cases} 0\cdot x + 2y -2z = 0,\\[4pt] 5x - y + 6z =0. \end{cases}
Da primeira equação obtemos y=z\]. Substituindo na segunda:
\[5x - z + 6z = 0 \implies 5x +5z =0 \implies x = -z.\]
Logo um vetor genérico no núcleo é \(\left[\begin{array}{c}-z\z\z\end{array}\right]=z\left[\begin{array}{c}-1\\\ 1\\\ 1\end{array}\right]. Assim
Como há uma dependência não-trivial entre as três colunas e c_1 e c_2 são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), segue que \operatorname{rank}(A^2)=2. Então
\dim\operatorname{Im}(S^2)=2.
Uma base conveniente para \operatorname{Im}(S^2) é \{c_1,c_2\}, ou seja
\begin{cases} x - y + 2z = 0,\\[4pt] 4x + 0y + 4z =0,\\[4pt] -2x -2y + 0z =0, \end{cases}
da segunda equação vem 4x+4z=0\Rightarrow x=-z\]. Da terceira vem \(-2x-2y=0\Rightarrow y=-x. Substituindo x=-z obtemos y=-(-z)=z. Verificando na primeira: (-z)-z+2z=0. Portanto o espaço de soluções é