Sejam S e T operadores lineares no \mathbb{R}^{2} definidas por T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x \\\\ 3 y\end{array}\right] e S\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2 y \\\ y\end{array}\right]. Determine:
T \circ S

Passo 1

O enunciado pede para determinar o operador composto T\circ S no espaço \mathbb{R}^{2}.
Informações dadas:
T\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]3y\end{array}\right]
S\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2y\\[4pt]y\end{array}\right]
O que precisamos entregar é a regra que associa a cada vetor \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right] o vetor (T\circ S)\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right), e — se for útil — a matriz que representa T\circ S na base canônica.]

Passo 2

Lembrando o que significa composição de operadores: por definição
(T\circ S)(v)=T\big(S(v)\big),
ou seja primeiro aplicamos S ao vetor v e depois aplicamos T ao resultado. Vamos começar aplicando S a um vetor genérico \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right].]

Passo 3

Calcule S no vetor genérico. Usando a definição dada:
S\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2y\\[4pt]y\end{array}\right].
Aqui foi só substituir o vetor na fórmula de S: a primeira coordenada fica x+2y e a segunda fica y.]

Passo 4

Agora aplicamos T ao resultado de S. Tomamos o vetor \left[\begin{array}{c}x+2y\\[4pt]y\end{array}\right] e usamos a definição de T:
T\left(\left[\begin{array}{c}x+2y\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2y\\[4pt]3y\end{array}\right].
Explicando: T deixa a primeira coordenada como está e multiplica a segunda por 3. Então a primeira coordenada permanece x+2y e a segunda vira 3y.]

Passo 5

Vamos escrever isso de forma limpa como a regra do operador composto. Assim, para todo vetor \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right] temos
(T\circ S)\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2y\\[4pt]3y\end{array}\right].
Se você preferir ver isso como multiplicação por uma matriz na base canônica, primeiro escrevemos as matrizes de S e T. A matriz de S é
[S]=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
pois S envia \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right] em \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]. A matriz de T é
[T]=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}.
A matriz do composto T\circ S é o produto [T][S]. Calculando:
[T][S]=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot2+0\cdot1 \\[4pt]0\cdot1+3\cdot0 & 0\cdot2+3\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}.
Essa matriz aplicada a \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right] dá exatamente \left[\begin{array}{c}x+2y\\[4pt]3y\end{array}\right], como obtido antes.]

Resposta

(T\circ S)\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2y\\[4pt]3y\end{array}\right]
\text{Matriz de }T\circ S=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}]

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