Sejam S e T operadores lineares no \mathbb{R}^{2} definidas por T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x \\\\ 3 y\end{array}\right] e S\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}x+2 y \\\ y\end{array}\right]. Determine: T \circ S
Passo 1
O enunciado pede para determinar o operador composto T\circ S no espaço \mathbb{R}^{2}.
Informações dadas:
O que precisamos entregar é a regra que associa a cada vetor \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right] o vetor (T\circ S)\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]\right), e — se for útil — a matriz que representa T\circ S na base canônica.]
Passo 2
Lembrando o que significa composição de operadores: por definição
(T\circ S)(v)=T\big(S(v)\big),
ou seja primeiro aplicamos S ao vetor v e depois aplicamos T ao resultado. Vamos começar aplicando S a um vetor genérico \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right].]
Passo 3
Calcule S no vetor genérico. Usando a definição dada:
pois S envia \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right] em \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right]. A matriz de T é
Essa matriz aplicada a \left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\end{array}\right] dá exatamente \left[\begin{array}{c}x+2y\\[4pt]3y\end{array}\right], como obtido antes.]