Dado z=1+i \frac{\pi}{4}, assinale a alternativa que corresponde ao número \omega=e^{z} :
a) \frac{e^{2} \sqrt{2}}{2}(1-i)
b) \frac{e^{3} \sqrt{2}}{2}(1-i)
c) \frac{e^{2} \sqrt{2}}{2}(-1+i)
d) \frac{e^{3} \sqrt{2}}{2}(-1+i)
e) \frac{e \sqrt{2}}{2}(-1-i)
f) \frac{e \sqrt{2}}{2}(1+i)

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \displaystyle z=1+i\frac{\pi}{4} e pede para identificar, entre as alternativas fornecidas, o valor de \displaystyle \omega=e^{z}. Informação relevante: \displaystyle z tem parte real \displaystyle 1 e parte imaginária \displaystyle \frac{\pi}{4}. As alternativas são expressões do tipo constante multiplicada por (1\pm i) ou (-1\pm i) com fatores e^{k} e \sqrt{2}/2.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade básica da exponencial complexa e a fórmula de Euler. Para qualquer número real \displaystyle a e \displaystyle b,
e^{a+ib}=e^{a}\,e^{ib}.
A fórmula de Euler diz que, para qualquer \displaystyle \theta real,
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
Aqui \displaystyle a é a parte real de z e \displaystyle b é a parte imaginária (o coeficiente de i). Essas fórmulas são fundamentais porque transformam a exponencial complexa numa combinação de cosseno e seno, que são fáceis de calcular para ângulos notáveis.

Passo 3

Aplicando ao nosso z com \displaystyle a=1 e \displaystyle b=\frac{\pi}{4}, obtemos
e^{z}=e^{1+i\frac{\pi}{4}}=e^{1}\,e^{i\frac{\pi}{4}}.

Passo 4

Agora calcule e^{i\frac{\pi}{4}} usando Euler:
e^{i\frac{\pi}{4}}=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Sabemos os valores para \displaystyle \frac{\pi}{4} (45°):
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
e^{i\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Multiplicando pelo fator e^{1}=e temos
e^{z}=e\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Fatorando \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2},
e^{z}=\frac{e\sqrt{2}}{2}\,(1+i).

Passo 6

Compare com as alternativas: a expressão obtida \displaystyle \frac{e\sqrt{2}}{2}(1+i) corresponde exatamente à alternativa f). As outras alternativas têm fatores como e^{2}, e^{3} ou sinais diferentes que não batem com a decomposição e^{1}(\cos\theta+i\sin\theta) que fizemos.

Resposta

f) \displaystyle \frac{e \sqrt{2}}{2}(1+i)

Exercícios relacionados