Dado
, assinale a alternativa que corresponde ao número
:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para identificar, entre as alternativas fornecidas, o valor de
. Informação relevante:
tem parte real
e parte imaginária
. As alternativas são expressões do tipo constante multiplicada por
ou
com fatores
e
.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade básica da exponencial complexa e a fórmula de Euler. Para qualquer número real
e
,
A fórmula de Euler diz que, para qualquer
real,
Aqui
é a parte real de
e
é a parte imaginária (o coeficiente de
). Essas fórmulas são fundamentais porque transformam a exponencial complexa numa combinação de cosseno e seno, que são fáceis de calcular para ângulos notáveis.
Passo 3
Aplicando ao nosso
com
e
, obtemos
Passo 4
Agora calcule
usando Euler:
Sabemos os valores para
(45°):
Portanto
Passo 5
Multiplicando pelo fator
temos
Fatorando
,
Passo 6
Compare com as alternativas: a expressão obtida
corresponde exatamente à alternativa f). As outras alternativas têm fatores como
,
ou sinais diferentes que não batem com a decomposição
que fizemos.
Resposta
f)