A partir da função
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1 & \text { se }-\pi<x<0 \\\ 0 & \text { se } 0<x<\pi\end{array},\right.é possível obter sua série de Fourier
S(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos (n x)+b_{n} \operatorname{sen}(n x)\right] .
Nesse caso, determine a expressão numérica de APENAS DOIS dentre os três termos abaixo:
(2.0) b_{n}=

Passo 1

O enunciado dá a função periódica (no intervalo -\pi<x<\pi\)): \[f(x)=\begin{cases} x+1 & \text{se } -\pi<x<0,\\[4pt] 0 & \text{se } 0<x<\pi, \end{cases}
e pede o coeficiente b_{n}\] da série de Fourier \[S(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr].\] Informações relevantes que já temos aqui: a função está definida em \((- \pi,\pi) por partes; vamos usar as fórmulas padrão dos coeficientes de Fourier em período 2\pi. O objetivo desta questão é obter uma expressão numérica para b_{n}.]

Passo 2

Primeiro, a fórmula padrão (e importante) para os coeficientes b_{n} de uma função com período 2\pi é
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\qquad(n\ge 1).
Explicando essa fórmula de forma direta: é a projeção de f na função ortogonal \sin(nx) no intervalo [-\pi,\pi]. Aqui n é um inteiro positivo que indexa as harmônicas, dx indica integração em x, e o fator 1/\pi normaliza a base \sin(nx).

Passo 3

Como f é definida por partes, separamos a integral:
b_{n}=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{0} (x+1)\sin(nx)\,dx+\int_{0}^{\pi} 0\cdot\sin(nx)\,dx\right).
A segunda integral é zero porque f(x)=0 em (0,\pi). Portanto
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0} (x+1)\sin(nx)\,dx.
Agora vamos calcular essa integral explicitamente. Vamos dividir em duas integrais:
\int_{-\pi}^{0} (x+1)\sin(nx)\,dx=\int_{-\pi}^{0} x\sin(nx)\,dx+\int_{-\pi}^{0} \sin(nx)\,dx.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \int_{-\pi}^{0} x\sin(nx)\,dx por partes.
Use u=x e dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}.
A fórmula de integração por partes dá
\int x\sin(nx)\,dx = -\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^{2}} + C.
Avaliamo-la entre -\pi e 0:
\int_{-\pi}^{0} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n}+\frac{\sin(nx)}{n^{2}}\right]_{x=-\pi}^{x=0}.
Agora calcule os valores:
\text{em } x=0:\\\ -\frac{0\cdot\cos 0}{n}+\frac{\sin 0}{n^{2}}=0,
\text{em } x=-\pi:\\\ -\frac{(-\pi)\cos(-n\pi)}{n}+\frac{\sin(-n\pi)}{n^{2}}=\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}+0.
Portanto
\int_{-\pi}^{0} x\sin(nx)\,dx=0-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx.
Integramos diretamente:
\int \sin(nx)\,dx = -\frac{\cos(nx)}{n}+C,
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\int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx=\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{x=-\pi}^{x=0} = -\frac{\cos 0}{n} + \frac{\cos(-n\pi)}{n}.
Usando \cos 0=1 e \cos(-n\pi)=\cos(n\pi), obtemos
\int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx=\frac{-1+\cos(n\pi)}{n}.

Passo 6

Somando as duas integrais:
\int_{-\pi}^{0} (x+1)\sin(nx)\,dx = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} + \frac{-1+\cos(n\pi)}{n}.
Colocando sobre um denominador comum:
\int_{-\pi}^{0} (x+1)\sin(nx)\,dx = \frac{-\pi\cos(n\pi)-1+\cos(n\pi)}{n} = \frac{(1-\pi)\cos(n\pi)-1}{n}.
Portanto, lembrando do fator 1/\pi da definição de b_{n},
b_{n}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{(1-\pi)\cos(n\pi)-1}{n} = \frac{(1-\pi)\cos(n\pi)-1}{n\pi}.

Passo 7

Podemos usar \cos(n\pi)=(-1)^{n} para escrever de forma mais compacta:
b_{n}=\frac{(1-\pi)(-1)^{n}-1}{n\pi},\qquad n\ge 1.
Essa é a expressão numérica final para b_{n}. Dá para verificar rapidamente alguns casos pequenos (por exemplo n=1,2) para ganhar confiança.

Resposta

\displaystyle b_{n}=\frac{(1-\pi)(-1)^{n}-1}{n\pi}

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