A partir da função
é possível obter sua série de Fourier
Nesse caso, determine a expressão numérica de APENAS DOIS dentre os três termos abaixo:
(2.0)
(2.0)
Passo 1
O enunciado dá a função periódica (no intervalo
e pede o coeficiente
por partes; vamos usar as fórmulas padrão dos coeficientes de Fourier em período
. O objetivo desta questão é obter uma expressão numérica para
.]
Passo 2
Primeiro, a fórmula padrão (e importante) para os coeficientes
de uma função com período
é
Explicando essa fórmula de forma direta: é a projeção de
na função ortogonal
no intervalo
. Aqui
é um inteiro positivo que indexa as harmônicas,
indica integração em
, e o fator
normaliza a base
.
Passo 3
Como
é definida por partes, separamos a integral:
A segunda integral é zero porque
em
. Portanto
Agora vamos calcular essa integral explicitamente. Vamos dividir em duas integrais:
Passo 4
Cálculo de
por partes.
Use e
. Então
e
.
A fórmula de integração por partes dá
Use
A fórmula de integração por partes dá
Avaliamo-la entre
e
:
Agora calcule os valores:
Portanto
Passo 5
Cálculo de
.
Integramos diretamente:
Integramos diretamente:
logo
Usando
e
, obtemos
Passo 6
Somando as duas integrais:
Colocando sobre um denominador comum:
Portanto, lembrando do fator
da definição de
,
Passo 7
Podemos usar
para escrever de forma mais compacta:
Essa é a expressão numérica final para
. Dá para verificar rapidamente alguns casos pequenos (por exemplo
) para ganhar confiança.