A partir da função
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1 & \text { se }-\pi<x<0 \\\ 0 & \text { se } 0<x<\pi\end{array},\right.é possível obter sua série de Fourier
S(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos (n x)+b_{n} \operatorname{sen}(n x)\right] .
Nesse caso, determine a expressão numérica de APENAS DOIS dentre os três termos abaixo:
(2.0) a_{n}=

Passo 1

O enunciado dá a função periódica (com período 2\pi\), definida em \(-\pi<x<\pi\)) \[f(x)=\begin{cases}x+1 & \text{se } -\pi<x<0,\\[4pt] 0 & \text{se } 0<x<\pi,\end{cases}
e pede para determinar a expressão numérica de apenas dois dentre os três termos da série de Fourier
S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\big].
Vou calcular explicitamente a_n\] e \(b_n (duas das três quantidades). As informações relevantes que temos: o intervalo de integração é -\pi a \pi, e a função vale x+1 no intervalo -\pi<x<0 e vale 0 em 0<x<\pi. Não precisamos dos valores em x=0,\pm\pi para os coeficientes.]

Passo 2

As fórmulas padrão para os coeficientes da série de Fourier em (- \pi,\pi) são (aqui n é um inteiro positivo)
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Explicando as variáveis: n é o índice do coeficiente (1,2,3,…), \cos(nx) e \sin(nx) são as funções ortogonais na base, e a integral é sobre um período [- \pi,\pi]. Como f(x)=0 em 0<x<\pi, as integrações reduzem-se ao intervalo [- \pi,0].

Passo 3

Cálculo de a_n. Montamos a integral usando o fato que f(x)=x+1 em [- \pi,0] e f(x)=0 em (0,\pi):
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}(x+1)\cos(nx)\,dx.
Separando a integral:
\int_{-\pi}^{0}(x+1)\cos(nx)\,dx=\int_{-\pi}^{0}x\cos(nx)\,dx+\int_{-\pi}^{0}\cos(nx)\,dx.

Passo 4

Calculamos cada parcela. Para \displaystyle \int_{-\pi}^{0}x\cos(nx)\,dx usamos integração por partes.
Escolhemos \,u=x\,,\;dv=\cos(nx)\,dx. Então du=dx e v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
\int x\cos(nx)\,dx=\frac{x}{n}\sin(nx)+\frac{1}{n^2}\cos(nx)+C.
Avaliado de -\pi a 0
\int_{-\pi}^{0}x\cos(nx)\,dx=\left[\frac{x}{n}\sin(nx)+\frac{1}{n^2}\cos(nx)\right]_{-\pi}^{0} =\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^2}\cos(-n\pi).
Usamos \cos(-n\pi)=\cos(n\pi)=(-1)^n. Logo
\int_{-\pi}^{0}x\cos(nx)\,dx=\frac{1}{n^2}\big(1-(-1)^n\big).
A outra parcela é
\int_{-\pi}^{0}\cos(nx)\,dx=\frac{1}{n}\sin(nx)\Big|_{-\pi}^{0}=0-0=0,
pois \sin(0)=0 e \sin(-n\pi)=0. Portanto a integral total é \dfrac{1}{n^2}\big(1-(-1)^n\big) e
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{n^2}\big(1-(-1)^n\big).

Passo 5

Interpretação final de a_n em forma prática (facilita memorizar para prova): se n é par então (-1)^n=1 e a_n=0. Se n é ímpar então (-1)^n=-1 e
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{n^2}\big(1-(-1)\big)=\frac{2}{\pi n^2}.
Portanto
a_n=\begin{cases}\dfrac{2}{\pi n^2},& n\\ \text{ímpar},\\[6pt]0,& n\\ \text{par}.\end{cases}í]

Passo 6

Cálculo de b_n. Montamos a integral
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}(x+1)\sin(nx)\,dx.
Separamos:
\int_{-\pi}^{0}(x+1)\sin(nx)\,dx=\int_{-\pi}^{0}x\sin(nx)\,dx+\int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx.

Passo 7

Calculamos \displaystyle \int_{-\pi}^{0}x\sin(nx)\,dx por partes. Tomamos u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
\int x\sin(nx)\,dx=-\frac{x}{n}\cos(nx)+\frac{1}{n^2}\sin(nx)+C.
Avaliado entre -\pi e 0:
\int_{-\pi}^{0}x\sin(nx)\,dx=\left[-\frac{x}{n}\cos(nx)+\frac{1}{n^2}\sin(nx)\right]_{-\pi}^{0} =0-\left(-\frac{-\pi}{n}\cos(-n\pi)+0\right).
Como \cos(-n\pi)=\cos(n\pi)=(-1)^n, obtemos
\int_{-\pi}^{0}x\sin(nx)\,dx=-\frac{\pi}{n}(-1)^n.
Agora \displaystyle \int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx=-\frac{1}{n}\big(\cos(0)-\cos(-n\pi)\big) =-\frac{1}{n}\big(1-(-1)^n\big). \] Somando as duas parcelas: \[\int_{-\pi}^{0}(x+1)\sin(nx)\,dx =-\frac{\pi}{n}(-1)^n-\frac{1}{n}\big(1-(-1)^n\big).\] Logo \[b_n=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{\pi}{n}(-1)^n-\frac{1}{n}\big(1-(-1)^n\big)\right].\]

Passo 8

Simplificamos e colocamos b_n em forma prática (peça para a prova):
Primeiro escrevendo de forma compacta,
b_n=-\frac{1}{\pi n}\big(\pi(-1)^n+1-(-1)^n\big).
Mas é mais claro em forma de paridade: se n é par então (-1)^n=1 e a expressão fica
b_n=-\frac{1}{\pi n}(\pi+1-1)=-\frac{1}{n}.
Se n é ímpar então (-1)^n=-1 e
b_n=-\frac{1}{\pi n}\big(-\pi+1-(-1)\big)=-\frac{1}{\pi n}(-\pi+2)=\frac{\pi-2}{\pi n}.
Portanto
b_n=\begin{cases}\dfrac{\pi-2}{\pi n},& n\\ \text{ímpar},\\[6pt]-\dfrac{1}{n},& n\\ \text{par}.\end{cases}í]

Resposta

a_n=\begin{cases}\dfrac{2}{\pi n^2},& n\\ \text{ímpar},\\[6pt]0,& n\\ \text{par}.\end{cases}í
b_n=\begin{cases}\dfrac{\pi-2}{\pi n},& n\\ \text{ímpar},\\[6pt]-\dfrac{1}{n},& n\\ \text{par}.\end{cases}í]

Exercícios relacionados