Nesse caso, determine a expressão numérica de APENAS DOIS dentre os três termos abaixo:
(2.0) a_{n}=
Passo 1
O enunciado dá a função periódica (com período 2\pi\), definida em \(-\pi<x<\pi\))
\[f(x)=\begin{cases}x+1 & \text{se } -\pi<x<0,\\[4pt] 0 & \text{se } 0<x<\pi,\end{cases}
e pede para determinar a expressão numérica de apenas dois dentre os três termos da série de Fourier
Vou calcular explicitamente a_n\] e \(b_n (duas das três quantidades). As informações relevantes que temos: o intervalo de integração é -\pi a \pi, e a função vale x+1 no intervalo -\pi<x<0 e vale 0 em 0<x<\pi. Não precisamos dos valores em x=0,\pm\pi para os coeficientes.]
Passo 2
As fórmulas padrão para os coeficientes da série de Fourier em (- \pi,\pi) são (aqui n é um inteiro positivo)
Explicando as variáveis: n é o índice do coeficiente (1,2,3,…), \cos(nx) e \sin(nx) são as funções ortogonais na base, e a integral é sobre um período [- \pi,\pi]. Como f(x)=0 em 0<x<\pi, as integrações reduzem-se ao intervalo [- \pi,0].
Passo 3
Cálculo de a_n. Montamos a integral usando o fato que f(x)=x+1 em [- \pi,0] e f(x)=0 em (0,\pi):
Calculamos cada parcela. Para \displaystyle \int_{-\pi}^{0}x\cos(nx)\,dx usamos integração por partes.
Escolhemos \,u=x\,,\;dv=\cos(nx)\,dx. Então du=dx e v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
Agora \displaystyle \int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx=-\frac{1}{n}\big(\cos(0)-\cos(-n\pi)\big)
=-\frac{1}{n}\big(1-(-1)^n\big).
\]
Somando as duas parcelas:
\[\int_{-\pi}^{0}(x+1)\sin(nx)\,dx =-\frac{\pi}{n}(-1)^n-\frac{1}{n}\big(1-(-1)^n\big).\]
Logo
\[b_n=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{\pi}{n}(-1)^n-\frac{1}{n}\big(1-(-1)^n\big)\right].\]
Passo 8
Simplificamos e colocamos b_n em forma prática (peça para a prova):
Primeiro escrevendo de forma compacta,
b_n=-\frac{1}{\pi n}\big(\pi(-1)^n+1-(-1)^n\big).
Mas é mais claro em forma de paridade: se n é par então (-1)^n=1 e a expressão fica