Considerando
assinale TODOS os valores de
que satisfazem
:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Adicionalmente, utilize o espaço abaixo para mostrar, de forma detalhada, que os valores de
obtidos de fato resolvem a equação
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para assinalar TODOS os valores de
dentre as alternativas que satisfazem a equação
As alternativas fornecidas são:
Passo 2
Primeiro vamos entender bem o número
em coordenadas retangulares e depois em forma polar (isso facilita achar raízes). Os componentes reais e imaginários de
são:
Calculemos o módulo de
:
Agora o argumento (ângulo)
de
: como
e
, o ponto está no segundo quadrante e tem seno e cosseno conhecidos. Sabemos que
Portanto o argumento principal é
Conclusão deste passo: em forma polar podemos escrever
Passo 3
Agora a ideia geral (a fórmula que usamos): se um número complexo
tem representação polar
então todas as raízes quadradas de
são dados por
Explicação rápida por que: elevando ao quadrado temos
pois
. Portanto existem exatamente duas raízes quadradas distintas (porque
tem duas escolhas de fase separadas por
).
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: já vimos que
e
. Então
e
As duas raízes são, para
e
,
Passo 5
Convertendo essas raízes para forma retangular (usando identidades trigonométricas padrão):
logo
E
logo
Compare com as alternativas: isso corresponde exatamente às alternativas (a) e (e). As demais alternativas claramente não têm norma
(por exemplo
tem módulo maior que
), então não podem ser raízes de um número de módulo
.
Passo 6
Agora vamos verificar detalhadamente que essas duas opções realmente satisfazem
. Primeiro verificação para
. Usamos a fórmula
Tomando
e
obtemos
Portanto
Está verificado.
Passo 7
Agora verificação para
. Use novamente
e
. Calculamos
Logo
Também verificado.
Resposta
a)
e)
e)