Considerando
z=\frac{-1+i \sqrt{3}}{2},
assinale TODOS os valores de w que satisfazem w^{2}=z :
a) \frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}
b) \frac{3}{2}+i \frac{\sqrt{5}}{2}
c) \frac{5}{2}+i \frac{\sqrt{5}}{2}
d) \frac{7}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}
e) -\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}
f) -\frac{3}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}
Adicionalmente, utilize o espaço abaixo para mostrar, de forma detalhada, que os valores de w obtidos de fato resolvem a equação w^{2}=z.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},
e pede para assinalar TODOS os valores de w dentre as alternativas que satisfazem a equação
w^{2}=z.
As alternativas fornecidas são:
\text{(a)}\\ \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \text{(b)}\\ \frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{5}}{2},\quad \text{\text{(c)}}\\ \frac{5}{2}+i\frac{\sqrt{5}}{2},
\text{(d)}\\ \frac{7}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \text{(e)}\\\ -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \text{(f)}\\\ -\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 2

Primeiro vamos entender bem o número z em coordenadas retangulares e depois em forma polar (isso facilita achar raízes). Os componentes reais e imaginários de z são:
\Re(z)=-\frac{1}{2},\qquad \Im(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Calculemos o módulo de z:
|z|=\sqrt{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}}=\sqrt{1}=1.
Agora o argumento (ângulo) \theta de z: como \Re(z)=-\tfrac{1}{2}<0 e \Im(z)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}>0, o ponto está no segundo quadrante e tem seno e cosseno conhecidos. Sabemos que
\cos\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2},\qquad \sin\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto o argumento principal é
\theta=\frac{2\pi}{3}.
Conclusão deste passo: em forma polar podemos escrever
z=1\cdot e^{i\frac{2\pi}{3}}.

Passo 3

Agora a ideia geral (a fórmula que usamos): se um número complexo z tem representação polar
z = r\,e^{i\theta},
então todas as raízes quadradas de z são dados por
w = \sqrt{r}\,e^{i\left(\frac{\theta}{2}+k\pi\right)},\qquad k\in\{0,1\}.
Explicação rápida por que: elevando ao quadrado temos
w^{2}=\big(\sqrt{r}\big)^{2}e^{i(2\cdot(\frac{\theta}{2}+k\pi))}=r\,e^{i(\theta+2k\pi)}=r\,e^{i\theta}=z,
pois e^{i2k\pi}=1. Portanto existem exatamente duas raízes quadradas distintas (porque \sqrt{r} tem duas escolhas de fase separadas por \pi).

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: já vimos que r=1 e \theta=\tfrac{2\pi}{3}. Então \sqrt{r}=1 e
\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}.
As duas raízes são, para k=0 e k=1,
w_{0}=e^{i\frac{\pi}{3}},\qquad w_{1}=e^{i(\frac{\pi}{3}+\pi)}=e^{i\frac{4\pi}{3}}.

Passo 5

Convertendo essas raízes para forma retangular (usando identidades trigonométricas padrão):
\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},\qquad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},
logo
w_{0}=\cos\left(\tfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\tfrac{\pi}{3}\right) =\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.
E
\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2},\qquad \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2},
logo
w_{1}=\cos\left(\tfrac{4\pi}{3}\right)+i\sin\left(\tfrac{4\pi}{3}\right) =-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.
Compare com as alternativas: isso corresponde exatamente às alternativas (a) e (e). As demais alternativas claramente não têm norma 1 (por exemplo \frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{5}}{2} tem módulo maior que 1), então não podem ser raízes de um número de módulo 1.

Passo 6

Agora vamos verificar detalhadamente que essas duas opções realmente satisfazem w^{2}=z. Primeiro verificação para w=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Usamos a fórmula
(a+ib)^{2}=a^{2}-b^{2}+i\cdot 2ab.
Tomando a=\tfrac{1}{2} e b=\tfrac{\sqrt{3}}{2} obtemos
a^{2}-b^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}-\tfrac{3}{4}=-\tfrac{1}{2},
2ab=2\cdot \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
\left(\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}= \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=z.
Está verificado.

Passo 7

Agora verificação para w=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Use novamente a=-\tfrac{1}{2} e b=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Calculamos
a^{2}-b^{2}=\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}-\tfrac{3}{4}=-\tfrac{1}{2},
2ab=2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
\left(-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}= \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=z.
Também verificado.

Resposta

a) \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}
e) -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}

Exercícios relacionados