Dado alpha in R, a equação diferencial
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-alpha^2) y=0
é chamada Equação de Bessel de ordem alpha.
Se alpha=1 mostre que y=x(1-x^22^2 2!+x^42^4 2!3!-x^62^6 2!3!4!+ldots) é solução.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série de potências
y = xl(1 - x^22^2,2! + x^42^4,2!,3! - x^62^6,2!,3!,4! + cdotsr)
satisfaz a equação de Bessel de ordem alpha=1,
x^2y'' + x y' + l(x^2-1r)y = 0
Vamos usar o método de séries de potências em x=0.

Passo 2

Escrevemos
y=sumk=0^inftyak,x^2k+1,
de modo que
y'=sumk=0^inftyak,(2k+1),x^2k,
y''=sumk=0^inftyak,(2k+1)(2k),x^2k-1

Passo 3

Substituindo em x^2y''+x y'+(x^2-1)y obtém-se
x^2y''+x y' = sumk=0^inftyakl(2k+1r)l(2k+1r),x^2k+1,
(x^2-1)y = sumk=0^inftyak,x^2k+3 - sumk=0^inftyak,x^2k+1
Agrupando as potências x^2k+1 e igualando a zero vem a condição
ak,(2k+1)^2 - ak + ak-1 = 0 Longrightarrow 4k(k+1),ak + ak-1 = 0

Passo 4

Da relação de recorrência
ak = -ak-14k(k+1),
com a0=1, segue por indução
ak = (-1)^k4^k,k!,(k+1)! = (-1)^k2^2k,k!,(k+1)!
Logo
y=sumk=0^infty (-1)^k2^2k,k!,(k+1)!,x^2k+1 = xl(1 - x^22^2,2! + x^42^4,2!,3! - cdotsr)

Passo 5

Concluímos que os coeficientes ak satisfazem exatamente a relação que garante
;x^2y''+x y'+(x^2-1)y=0,
ou seja, a série dada é solução da equação de Bessel de ordem 1.

Resposta

A função
y = xl(1 - tfracx^22^2,2! + tfracx^42^4,2!,3! - tfracx^62^6,2!,3!,4! + cdotsr)
satisfaz
x^2y'' + x y' + (x^2-1)y = 0

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