Derive as funções:
f(x)=(x^-2+x^-3)(x^5-2 x^2)------ [R: f^prime(x)=3 x^2+2 x+2 x^-2]

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = l(x^-2 + x^-3r)l(x^5 - 2x^2r)
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a derivada de potência, que diz
ddxx^n = n,x^n-1

Passo 2

Expandindo o produto termo a termo, temos
f(x) = x^-2cdot x^5 + x^-2cdot(-2x^2) + x^-3cdot x^5 + x^-3cdot(-2x^2)
Aplicando as leis de potências, isto é, x^acdot x^b = x^a+b, resulta
f(x) = x^3 - 2 + x^2 - 2x^-1

Passo 3

Agora derivamos cada termo usando ddxx^n = n,x^n-1:
f'(x) = ddx(x^3) + ddx(x^2) + ddx(-2) + ddx(-2x^-1)

Passo 4

Calculando cada derivada:
ddx(x^3)=3x^2,
ddx(x^2)=2x,
ddx(-2)=0,
ddx(-2x^-1)=-2cdot(-1)x^-2=2x^-2.
Somando, obtemos
f'(x) = 3x^2 + 2x + 2x^-2

Resposta

,f'(x) = 3x^2 + 2x + 2x^-2

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