Exercício 11 (D.L.5.35)
Ache as singularidades e classifique-as em estáveis, assintoticamente estáveis e instáveis. Desenhe o retrato de fase do campo
, onde
é dada por
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para achar e classificar as singularidades do sistema
onde
é dada por
Estamos lidando com um campo de gradiente, e para classificá-lo precisamos (i) encontrar os pontos críticos resolvendo
e (ii) analisar a linearização em cada ponto crítico.
Passo 2
Calculemos o gradiente de
:
A singularidade ocorre quando
Passo 3
Escrevemos o sistema na forma matricial. Como
a matriz Jacobiana em qualquer ponto é
onde
é a matriz identidade de ordem 3.
Passo 4
Os autovalores de
são todos iguais a
, que é estritamente negativo. Logo a singularidade em
é um ponto de sela estritamente atrativo (um “sumidouro” hiperbólico). Na teoria de sistemas lineares, isso significa que o ponto é assintoticamente estável (e, consequentemente, também estável no sentido de Lyapunov).
Passo 5
O retrato de fase mostra vetores apontando radialmente para dentro, convergindo exponencialmente à origem. Em coordenadas esféricas, cada raio decai como
cuja solução é
, ilustrando a atração global ao ponto crítico.
Resposta
A única singularidade é
, que é assintoticamente estável. O retrato de fase consiste em fluxos radiais que entram na origem, mostrando um sumidouro hiperbólico.