Exercício 11 (D.L.5.35)
Ache as singularidades e classifique-as em estáveis, assintoticamente estáveis e instáveis. Desenhe o retrato de fase do campo x^prime=-nabla V(x), onde V: R^n R é dada por
(c) V(x1, x2, x3)=x1^2+x2^2+x3^2

Passo 1

O enunciado pede para achar e classificar as singularidades do sistema
x' = -nabla V(x),
onde VcolonR^3toR é dada por
V(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2
Estamos lidando com um campo de gradiente, e para classificá-lo precisamos (i) encontrar os pontos críticos resolvendo nabla V=0 e (ii) analisar a linearização em cada ponto crítico.

Passo 2

Calculemos o gradiente de V:
nabla V(x1,x2,x3) = l(2x1,;2x2,;2x3r)
A singularidade ocorre quando
nabla V(x)=0 Longrightarrow 2x1=0,;2x2=0,;2x3=0 Longrightarrow (x1,x2,x3)=(0,0,0)

Passo 3

Escrevemos o sistema na forma matricial. Como
x'=-nabla V(x) = l(-2x1,,-2x2,,-2x3r),
a matriz Jacobiana em qualquer ponto é
Dl(-nabla Vr)(x) =-2,I3,
onde I3 é a matriz identidade de ordem 3.

Passo 4

Os autovalores de -2,I3 são todos iguais a -2, que é estritamente negativo. Logo a singularidade em (0,0,0) é um ponto de sela estritamente atrativo (um “sumidouro” hiperbólico). Na teoria de sistemas lineares, isso significa que o ponto é assintoticamente estável (e, consequentemente, também estável no sentido de Lyapunov).

Passo 5

O retrato de fase mostra vetores apontando radialmente para dentro, convergindo exponencialmente à origem. Em coordenadas esféricas, cada raio decai como
r'(t)=-2,r(t),
cuja solução é r(t)=r(0)e^-2t, ilustrando a atração global ao ponto crítico.

Resposta

A única singularidade é (0,0,0), que é assintoticamente estável. O retrato de fase consiste em fluxos radiais que entram na origem, mostrando um sumidouro hiperbólico.

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