Use o conhecimento de regras de derivação para encontrar f^prime(z) se:
f(z)=(2 z^2+i)^5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(z) = \left(2 z^{2} + i\right)^{5} $ e precisamos encontrar a sua derivada, $ f^{\prime}(z) $. Para isso, vamos usar as regras de derivação, especificamente a regra da cadeia. A regra da cadeia é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.

Passo 2

Vamos identificar a parte interna da nossa função composta. Aqui, a função externa é elevar algo a quinta potência e a função interna é $ g(z) = 2 z^{2} + i $. Então, podemos reescrever $ f(z) $ como:
g(z) = 2 z^2 + i

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de $ f(z) = \left(g(z)\right)^{n} $ é:
f(z) = (g(z))^n
No nosso caso, $ n = 5 $, então:
f^prime(z) = n (g(z))^n-1 cdot g^prime(z)

Passo 4

Precisamos agora encontrar $ g^{\prime}(z) $, que é a derivada de $ g(z) = 2 z^{2} + i $. Derivando termo a termo:
  • A derivada de $ 2 z^{2} $ é $ 4 z $ (usando a regra do poder, onde a derivada de $ z^{n} $ é $ n z^{n-1} $).
  • A derivada de $ i $ (que é uma constante) é 0.
Então:
g^prime(z)

Passo 5

Substituímos $ g(z) $ e $ g^{\prime}(z) $ na expressão da derivada que encontramos no Passo 3:
g(z)

Passo 6

Podemos simplificar multiplicando os coeficientes:
f^prime(z) = 20 z (2 z^2 + i)^4

Resposta

A derivada de $ f(z) = \left(2 z^{2} + i\right)^{5} $ é:
f(z) = (2 z^2 + i)^5

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