Use o conhecimento de regras de derivação para encontrar
se:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(z) = \left(2 z^{2} + i\right)^{5} $ e precisamos encontrar a sua derivada, $ f^{\prime}(z) $. Para isso, vamos usar as regras de derivação, especificamente a regra da cadeia. A regra da cadeia é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.
Passo 2
Vamos identificar a parte interna da nossa função composta. Aqui, a função externa é elevar algo a quinta potência e a função interna é $ g(z) = 2 z^{2} + i $. Então, podemos reescrever $ f(z) $ como:
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de $ f(z) = \left(g(z)\right)^{n} $ é:
No nosso caso, $ n = 5 $, então:
Passo 4
Precisamos agora encontrar $ g^{\prime}(z) $, que é a derivada de $ g(z) = 2 z^{2} + i $. Derivando termo a termo:
- A derivada de $ 2 z^{2} $ é $ 4 z $ (usando a regra do poder, onde a derivada de $ z^{n} $ é $ n z^{n-1} $).
- A derivada de $ i $ (que é uma constante) é 0.
Então:
Passo 5
Substituímos $ g(z) $ e $ g^{\prime}(z) $ na expressão da derivada que encontramos no Passo 3:
Passo 6
Podemos simplificar multiplicando os coeficientes:
Resposta
A derivada de $ f(z) = \left(2 z^{2} + i\right)^{5} $ é: