Um dado é atirado 240 vezes. Encontre a probabilidade de que o número 2 apareça entre 25 e 32 vezes?
Passo 1
O enunciado diz: “Um dado é lançado 240 vezes. Qual a probabilidade de sair o número 2 entre 25 e 32 vezes?”
Conteúdo: Distribuição Binomial e Aproximação Normal.
O que vamos precisar:
• Entender a Distribuição Binomial (quando temos n tentativas independentes e probabilidade p de “sucesso”).
• Verificar que n é grande o bastante pra aproximar por uma Normal.
• Fazer correção de continuidade e usar tabela da Normal Padrão.
Conteúdo: Distribuição Binomial e Aproximação Normal.
O que vamos precisar:
• Entender a Distribuição Binomial (quando temos n tentativas independentes e probabilidade p de “sucesso”).
• Verificar que n é grande o bastante pra aproximar por uma Normal.
• Fazer correção de continuidade e usar tabela da Normal Padrão.
Passo 2
Definindo a variável aleatória X = número de vezes que sai “2” em 240 lançamentos.
Como cada lançamento tem probabilidade p = 1/6 de dar 2, X ~ Binomial(n = 240, p = 1/6).
A probabilidade exata seria
Como cada lançamento tem probabilidade p = 1/6 de dar 2, X ~ Binomial(n = 240, p = 1/6).
A probabilidade exata seria
mas esse somatório é enorme pra calcular na mão.
Passo 3
Vamos aproximar por uma Normal. Primeiro calculamos a média e o desvio-padrão de X:
μ = np = 240·(1/6) = 40
σ² = np(1−p) = 240·(1/6)·(5/6) = 33,333…
σ = √33,333… ≈ 5,774
μ = np = 240·(1/6) = 40
σ² = np(1−p) = 240·(1/6)·(5/6) = 33,333…
σ = √33,333… ≈ 5,774
Passo 4
Condição pra usar Normal: np ≥ 5 e n(1−p) ≥ 5.
Aqui np = 40 e n(1−p) = 200, então tá tudo certo.
Aqui np = 40 e n(1−p) = 200, então tá tudo certo.
Passo 5
Como X é discreta, fazemos correção de continuidade.
Queremos P(25 ≤ X ≤ 32). Em contínuo, usamos:
a = 25 − 0,5 = 24,5
b = 32 + 0,5 = 32,5
Queremos P(25 ≤ X ≤ 32). Em contínuo, usamos:
a = 25 − 0,5 = 24,5
b = 32 + 0,5 = 32,5
Então
onde Y ~ N(μ=40, σ=5,774).
Passo 6
Convertendo em z = (Y−μ)/σ:
z₁ = (24,5 − 40) / 5,774 ≈ −2,685
z₂ = (32,5 − 40) / 5,774 ≈ −1,299
z₁ = (24,5 − 40) / 5,774 ≈ −2,685
z₂ = (32,5 − 40) / 5,774 ≈ −1,299
Logo
onde Φ é a CDF da N(0,1).
Passo 7
Consultando tabela da Normal Padrão:
Φ(−1,299) ≈ 0,0970
Φ(−2,685) ≈ 0,0036
Então
Φ(−1,299) ≈ 0,0970
Φ(−2,685) ≈ 0,0036
Então
Resposta
A probabilidade de obter o número 2 entre 25 e 32 vezes em 240 lançamentos é, aproximadamente, 0,0934 (ou 9,34%).