Uma pesquisa dentre 150 estudantes revelou que 83 são proprietários de carros, 97 possuem bicicletas, 28 têm motocicletas, 53 são donos de carros e bicicletas, 14 têm carros e motocicletas, 7 possuem bicicletas e motocicletas, e 2 têm todos os três. Quantos estudantes possuem apenas um tipo (carro, motocicleta ou bicicleta) de transporte e quantos não têm qualquer um dos três?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que pesquisamos 150 estudantes e temos:
  • |C| = 83 (proprietários de carro)
  • |B| = 97 (bicicleta)
  • |M| = 28 (motocicleta)
  • |C∩B| = 53, |C∩M| = 14, |B∩M| = 7
  • |C∩B∩M| = 2
O conteúdo é teoria de conjuntos e o princípio da inclusão-exclusão. A gente vai usar as fórmulas para “apenas um” em cada conjunto e também para descobrir quem não tem nenhum.

Passo 2

Calcular quantos têm apenas carro.
Fórmula:
|Só C| = |C| ;-; |C∩B|;-;|C∩M|;+;|C∩B∩M|ó
Explicando: subtraímos as interseções porque quem está em C∩B ou em C∩M foi contado duas vezes em |C|, mas aí tiramos quem está em todas as três duas vezes demais, então somamos de volta.
Aplicando números:
|Só C| = 83 - 53 - 14 + 2 = 18ó

Passo 3

Calcular quantos têm apenas bicicleta.
Mesma lógica:
|Só B| = |B| - |B∩C| - |B∩M| + |C∩B∩M|ó
|Só B| = 97 - 53 - 7 + 2 = 39ó

Passo 4

Calcular quantos têm apenas motocicleta.
Igualzinho:
|Só M| = |M| - |M∩C| - |M∩B| + |C∩B∩M|ó
|Só M| = 28 - 14 - 7 + 2 = 9ó

Passo 5

Somar quem tem só um tipo:
|Só um| = |Só C| + |Só B| + |Só M| = 18 + 39 + 9 = 66óóóó

Passo 6

Calcular quem não tem nenhum dos três.
Primeiro, quantos têm pelo menos um: princípio da inclusão-exclusão geral:
|C∪B∪M| = |C|+|B|+|M| - (|C∩B|+|C∩M|+|B∩M|) + |C∩B∩M|
Substituindo:
|C∪B∪M| = 83+97+28 - (53+14+7) + 2 = 208 - 74 + 2 = 136
Então quem não tem nenhum = total − quem tem pelo menos um:
150 - 136 = 14

Resposta

  • Apenas um tipo de transporte: 66 estudantes
  • Nenhum dos três: 14 estudantes

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