Uma pesquisa dentre 150 estudantes revelou que 83 são proprietários de carros, 97 possuem bicicletas, 28 têm motocicletas, 53 são donos de carros e bicicletas, 14 têm carros e motocicletas, 7 possuem bicicletas e motocicletas, e 2 têm todos os três. Quantos estudantes possuem apenas um tipo (carro, motocicleta ou bicicleta) de transporte e quantos não têm qualquer um dos três?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que pesquisamos 150 estudantes e temos:
- |C| = 83 (proprietários de carro)
- |B| = 97 (bicicleta)
- |M| = 28 (motocicleta)
- |C∩B| = 53, |C∩M| = 14, |B∩M| = 7
- |C∩B∩M| = 2
O conteúdo é teoria de conjuntos e o princípio da inclusão-exclusão. A gente vai usar as fórmulas para “apenas um” em cada conjunto e também para descobrir quem não tem nenhum.
Passo 2
Calcular quantos têm apenas carro.
Fórmula:
Fórmula:
Explicando: subtraímos as interseções porque quem está em C∩B ou em C∩M foi contado duas vezes em |C|, mas aí tiramos quem está em todas as três duas vezes demais, então somamos de volta.
Aplicando números:
Passo 3
Calcular quantos têm apenas bicicleta.
Mesma lógica:
Mesma lógica:
Passo 4
Calcular quantos têm apenas motocicleta.
Igualzinho:
Igualzinho:
Passo 5
Somar quem tem só um tipo:
Passo 6
Calcular quem não tem nenhum dos três.
Primeiro, quantos têm pelo menos um: princípio da inclusão-exclusão geral:
Primeiro, quantos têm pelo menos um: princípio da inclusão-exclusão geral:
Substituindo:
Então quem não tem nenhum = total − quem tem pelo menos um:
Resposta
- Apenas um tipo de transporte: 66 estudantes
- Nenhum dos três: 14 estudantes