Sendo o tensor de deformação no ponto P dado abaixo. Determine o ângulo entre os segmentos P Q e P R após a deformação. Esses segmentos apresentam-se ortogonais antes da deformação.
\underline{\varepsilon}=10^{-4} \times\left[\begin{array}{ccc} -4 & 2 & 0 \\\\ 2 & 6 & 1 \\\\ 0 & 1 & 4 \end{array}\right]_{x y z}

Passo 1

O enunciado fornece o tensor de deformação no ponto P
\underline{\varepsilon}=10^{-4}\times \begin{bmatrix} -4 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 6 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}_{xyz}.
A figura mostra que o segmento P R faz 30^\circ com o eixo x (peguei esse ângulo da imagem). Como os segmentos P Q e P R eram ortogonais antes da deformação, isso implica que P Q está na direção de 30^\circ+90^\circ=120^\circ em relação ao eixo x. O que se pede: determinar o ângulo entre P Q e P R após a deformação (ou seja, o ângulo final entre esses dois segmentos).]

Passo 2

Vamos entender a relação entre o tensor de deformação e a mudança de ângulo entre dois segmentos inicialmente ortogonais. Chamemos \mathbf{a} o vetor unitário na direção de P Q e \mathbf{b} o vetor unitário na direção de P R, com \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 inicialmente. Sob uma pequena deformação dada por um gradiente de deslocamento \nabla \mathbf{u}, o vetor é transformado aproximadamente por
\mathbf{a}'\approx(\mathbf{I}+\nabla\mathbf{u})\mathbf{a},\qquad \mathbf{b}'\approx(\mathbf{I}+\nabla\mathbf{u})\mathbf{b}.
O tensor de deformação pequeno (simétrico) é
\underline{\varepsilon}=\tfrac{1}{2}(\nabla\mathbf{u}+\nabla\mathbf{u}^{T}).
O produto escalar entre os vetores deformados é, em primeira ordem,
\mathbf{a}'\cdot\mathbf{b}'\approx \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}^{T}(\nabla\mathbf{u}+\nabla\mathbf{u}^{T})\mathbf{b} =2\,\mathbf{a}^{T}\underline{\varepsilon}\,\mathbf{b}.
Como \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 inicialmente, temos
\mathbf{a}'\cdot\mathbf{b}'\approx 2\,\mathbf{a}^{T}\underline{\varepsilon}\,\mathbf{b}.
Seja \gamma a pequena variação (em radianos) do ângulo em relação a 90^\circ. Para ângulos próximos de 90^\circ, vale \gamma\approx\mathbf{a}'\cdot\mathbf{b}'. Portanto, a variação do ângulo (em radianos) é dada por
\gamma \approx 2\,\mathbf{a}^{T}\underline{\varepsilon}\,\mathbf{b},
e o ângulo final entre os segmentos será aproximadamente \dfrac{\pi}{2}-\gamma radianos (ou 90^\circ-\gamma em graus). Aqui \mathbf{a} e \mathbf{b} são vetores unitários na configuração inicial.

Passo 3

Escolhemos coordenadas no plano xy. Da figura pegamos que P R tem ângulo 30^\circ com o eixo x, logo o vetor unitário na direção de P R é
\mathbf{b}=\begin{bmatrix}\cos 30^\circ\\[4pt]\sin 30^\circ\\[4pt]0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{bmatrix}.
Como P Q é inicialmente ortogonal a P R e, pela figura, aponta para 120^\circ, o vetor unitário na direção de P Q é
\mathbf{a}=\begin{bmatrix}\cos 120^\circ\\[4pt]\sin 120^\circ\\[4pt]0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt]0\end{bmatrix}.]

Passo 4

Calculemos s=\mathbf{a}^{T}\underline{\varepsilon}\,\mathbf{b}. Escrevemos o tensor como
\underline{\varepsilon}=10^{-4}\,M,\qquad M=\begin{bmatrix}-4 & 2 & 0\\[4pt]2 & 6 & 1\\[4pt]0 & 1 & 4\end{bmatrix}.
Como \mathbf{a} e \mathbf{b} têm componente z=0, só precisamos das componentes x,y. Calculamos exatamente (mantendo raízes):
\begin{aligned} \mathbf{a}^{T}M\mathbf{b} &=a_x\bigl(M_{xx}b_x+M_{xy}b_y\bigr)+a_y\bigl(M_{yx}b_x+M_{yy}b_y\bigr)\\[4pt] &=\left(-\tfrac{1}{2}\right)\bigl(-4\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot\tfrac{1}{2}\bigr) +\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\bigl(2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}+6\cdot\tfrac{1}{2}\bigr)\\[6pt] &=\sqrt{3}-\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}+\tfrac{3\sqrt{3}}{2} =\;1+\tfrac{5\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}
Portanto
s=\mathbf{a}^{T}\underline{\varepsilon}\,\mathbf{b}=10^{-4}\left(1+\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\right) =10^{-4}\cdot\tfrac{2+5\sqrt{3}}{2}.]

Passo 5

A variação do ângulo (em radianos) é
\gamma \approx 2s = 2\cdot 10^{-4}\cdot\tfrac{2+5\sqrt{3}}{2}=10^{-4}(2+5\sqrt{3}).
Numericamente,
\gamma \approx 0{,}0010660254037844386\\ \text{rad}.
Convertendo para graus ( 1\\ \text{rad}=180/\pi graus):
\gamma \approx 0{,}0010660254037844386\cdot\dfrac{180}{\pi}\approx 0{,}06107294^\circ.

Passo 6

O ângulo final entre P Q e P R é aproximadamente
90^\circ-\gamma\approx 90^\circ-0{,}06107294^\circ=89{,}93892706^\circ.
Arredondando razoavelmente, o ângulo final é 89{,}9389^\circ.

Resposta

89{,}9389^\circ

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