Sendo o tensor de deformação no ponto P dado abaixo. Determine o ângulo entre os segmentos P Q e P R após a deformação. Esses segmentos apresentam-se ortogonais antes da deformação.
A figura mostra que o segmento P R faz 30^\circ com o eixo x (peguei esse ângulo da imagem). Como os segmentos P Q e P R eram ortogonais antes da deformação, isso implica que P Q está na direção de 30^\circ+90^\circ=120^\circ em relação ao eixo x. O que se pede: determinar o ângulo entre P Q e P R após a deformação (ou seja, o ângulo final entre esses dois segmentos).]
Passo 2
Vamos entender a relação entre o tensor de deformação e a mudança de ângulo entre dois segmentos inicialmente ortogonais. Chamemos \mathbf{a} o vetor unitário na direção de P Q e \mathbf{b} o vetor unitário na direção de P R, com \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 inicialmente. Sob uma pequena deformação dada por um gradiente de deslocamento \nabla \mathbf{u}, o vetor é transformado aproximadamente por
Seja \gamma a pequena variação (em radianos) do ângulo em relação a 90^\circ. Para ângulos próximos de 90^\circ, vale \gamma\approx\mathbf{a}'\cdot\mathbf{b}'. Portanto, a variação do ângulo (em radianos) é dada por
e o ângulo final entre os segmentos será aproximadamente \dfrac{\pi}{2}-\gamma radianos (ou 90^\circ-\gamma em graus). Aqui \mathbf{a} e \mathbf{b} são vetores unitários na configuração inicial.
Passo 3
Escolhemos coordenadas no plano xy. Da figura pegamos que P R tem ângulo 30^\circ com o eixo x, logo o vetor unitário na direção de P R é