Num sólido em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças externas, o campo de deslocamentos é dado por (sendo a uma constante com dimensão de comprimento):
u=\frac{2 y z}{a} \times 10^{-3}, v=\frac{2 x z}{a} \times 10^{-3} e w=\frac{2\left(y^{2}-x^{2}\right)}{a} \times 10^{-3}
Pede-se determinar: a) campo de deformações; b) valores das componentes de deformação no ponto P(a / 2, a, 0); c) deformações principais em P.

Passo 1

O enunciado dá o campo de deslocamentos (com a constante de dimensão de comprimento) e pede três coisas:
  • a) determinar o campo de deformações;
  • b) calcular as componentes de deformação no ponto P\left(\dfrac{a}{2},a,0\right);
  • c) obter as deformações principais em P.
As informações fornecidas são:
u=\frac{2yz}{a}\times10^{-3},\qquad v=\frac{2xz}{a}\times10^{-3},\qquad w=\frac{2\left(y^{2}-x^{2}\right)}{a}\times10^{-3}.
Não há outras informações ocultas: usaremos o campo de deslocamentos acima para obter as deformações pequenas (infinitesimais).

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (explicação didática): para pequenas deformações o tensor de deformação simétrico \varepsilon_{ij} é dado por
\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right),
onde u_1=u,\;u_2=v,\;u_3=w e as coordenadas são x_1=x,\;x_2=y,\;x_3=z. Isso significa, por exemplo:
\varepsilon_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x},\qquad \varepsilon_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad \varepsilon_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z},
e para as componentes de cisalhamento (simétricas)
\varepsilon_{xy}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right),\qquad \varepsilon_{yz}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\right),\qquad \varepsilon_{zx}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\right).
Observação prática: a chamada “deformação de engenharia” \gamma_{xy} é 2\varepsilon_{xy}, mas aqui usaremos \varepsilon_{ij} (componentes do tensor simétrico).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais dos deslocamentos (vou mostrar cada derivada explicitamente):
Primeiro escrevo os deslocamentos com o fator 10^{-3} visível:
u=\left(\frac{2yz}{a}\right)10^{-3},\qquad v=\left(\frac{2xz}{a}\right)10^{-3},\qquad w=\left(\frac{2y^{2}-2x^{2}}{a}\right)10^{-3}.
Derivadas de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=\left(\frac{2z}{a}\right)10^{-3},\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=\left(\frac{2y}{a}\right)10^{-3}.
Derivadas de v:
\frac{\partial v}{\partial x}=\left(\frac{2z}{a}\right)10^{-3},\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial z}=\left(\frac{2x}{a}\right)10^{-3}.
Derivadas de w:
\frac{\partial w}{\partial x}=\left(\frac{-4x}{a}\right)10^{-3},\qquad \frac{\partial w}{\partial y}=\left(\frac{4y}{a}\right)10^{-3},\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=0.
(Expliquei: por exemplo \partial w/\partial x = \partial\big((-2x^2/a)10^{-3}\big)/\partial x = (-4x/a)10^{-3}.)

Passo 4

Agora montamos as componentes do tensor de deformação usando as fórmulas do Passo 2, substituindo as derivadas:
Normais:
\varepsilon_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x}=0, \qquad \varepsilon_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y}=0, \qquad \varepsilon_{zz}=\frac{\partial w}{\partial z}=0.
Cisalhamentos (componentes simétricas):
\varepsilon_{xy}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right) =\frac{1}{2}\!\left(\left(\frac{2z}{a}\right)+\left(\frac{2z}{a}\right)\right)10^{-3} =\left(\frac{2z}{a}\right)10^{-3},
\varepsilon_{yz}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\right) =\frac{1}{2}\!\left(\left(\frac{2x}{a}\right)+\left(\frac{4y}{a}\right)\right)10^{-3} =\left(\frac{x+2y}{a}\right)10^{-3},
\varepsilon_{zx}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\right) =\frac{1}{2}\!\left(\left(\frac{-4x}{a}\right)+\left(\frac{2y}{a}\right)\right)10^{-3} =\left(\frac{-2x+y}{a}\right)10^{-3}.
Portanto o campo completo de deformações (tensor simétrico) é:
\varepsilon_{xx}=0,\quad \varepsilon_{yy}=0,\quad \varepsilon_{zz}=0,
\varepsilon_{xy}=\left(\frac{2z}{a}\right)10^{-3},\quad \varepsilon_{yz}=\left(\frac{x+2y}{a}\right)10^{-3},\quad \varepsilon_{zx}=\left(\frac{-2x+y}{a}\right)10^{-3},
com \varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}.

Passo 5

Avaliar as componentes em P\left(\dfrac{a}{2},a,0\right). Substituo x=\dfrac{a}{2},\;y=a,\;z=0:
Normais:
\varepsilon_{xx}(P)=0,\qquad \varepsilon_{yy}(P)=0,\qquad \varepsilon_{zz}(P)=0.
Cisalhamentos:
\varepsilon_{xy}(P)=\left(\frac{2\cdot 0}{a}\right)10^{-3}=0,
\varepsilon_{yz}(P)=\left(\frac{\dfrac{a}{2}+2a}{a}\right)10^{-3} =\left(\frac{\tfrac{1}{2}+2}{1}\right)10^{-3} =\left(\tfrac{5}{2}\right)10^{-3} =2{,}5\times10^{-3},
\varepsilon_{zx}(P)=\left(\frac{-2\cdot\dfrac{a}{2}+a}{a}\right)10^{-3} =\left(\frac{-1+1}{1}\right)10^{-3}=0.
Logo, em P a matriz de deformação (em unidades adimensionais) é, numericamente,
\varepsilon(P)= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2{,}5\times10^{-3}\\[4pt] 0 & 2{,}5\times10^{-3} & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Determinar as deformações principais em P (autovalores do tensor \varepsilon(P)).
Montando o problema de autovalores: para a matriz acima, o eixo x está desacoplado (linha e coluna 1 são zeros), e o subbloco y\mbox{-}z é
\begin{pmatrix}0 & 2{,}5\times10^{-3}\\[4pt]2{,}5\times10^{-3} & 0\end{pmatrix}.
Os autovalores desse subbloco são \lambda=\pm 2{,}5\times10^{-3} (porque para matriz \begin{pmatrix}0 & \varepsilon\\\ \varepsilon & 0\end{pmatrix} os autovalores são \pm\varepsilon). Juntando com o valor do eixo x (que é 0), os três autovalores (deformações principais) em P são
\varepsilon_1=0,\qquad \varepsilon_2=2{,}5\times10^{-3},\qquad \varepsilon_3=-2{,}5\times10^{-3}.
Se quiser os autovetores (direções principais): para \varepsilon_2=2{,}5\times10^{-3} o autovetor no subespaço y\mbox{-}z é proporcional a (1,1) (direção que combina y e z igualmente); para \varepsilon_3=-2{,}5\times10^{-3} o autovetor é proporcional a (1,-1); e para \varepsilon_1=0 o autovetor é o eixo x.]

Resposta

a) \displaystyle \varepsilon_{xx}=0,\quad \varepsilon_{yy}=0,\quad \varepsilon_{zz}=0,\quad \varepsilon_{xy}=\left(\dfrac{2z}{a}\right)10^{-3},\quad \varepsilon_{yz}=\left(\dfrac{x+2y}{a}\right)10^{-3},\quad \varepsilon_{zx}=\left(\dfrac{-2x+y}{a}\right)10^{-3}.
b) \displaystyle \varepsilon_{xx}(P)=0,\quad \varepsilon_{yy}(P)=0,\quad \varepsilon_{zz}(P)=0,\quad \varepsilon_{xy}(P)=0,\quad \varepsilon_{yz}(P)=2{,}5\times10^{-3},\quad \varepsilon_{zx}(P)=0.
c) \displaystyle \text{Deformações principais em }P:\;0,\quad 2{,}5\times10^{-3},\quad -2{,}5\times10^{-3}.çõ

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