Num sólido em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças externas, o campo de deslocamentos é dado por (sendo a uma constante com dimensão de comprimento): u=\frac{2 y z}{a} \times 10^{-3}, v=\frac{2 x z}{a} \times 10^{-3} e w=\frac{2\left(y^{2}-x^{2}\right)}{a} \times 10^{-3}
Pede-se determinar: a) campo de deformações; b) valores das componentes de deformação no ponto P(a / 2, a, 0); c) deformações principais em P.
Passo 1
O enunciado dá o campo de deslocamentos (com a constante de dimensão de comprimento) e pede três coisas:
a) determinar o campo de deformações;
b) calcular as componentes de deformação no ponto P\left(\dfrac{a}{2},a,0\right);
Observação prática: a chamada “deformação de engenharia” \gamma_{xy} é 2\varepsilon_{xy}, mas aqui usaremos \varepsilon_{ij} (componentes do tensor simétrico).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais dos deslocamentos (vou mostrar cada derivada explicitamente):
Primeiro escrevo os deslocamentos com o fator 10^{-3} visível:
Os autovalores desse subbloco são \lambda=\pm 2{,}5\times10^{-3} (porque para matriz \begin{pmatrix}0 & \varepsilon\\\ \varepsilon & 0\end{pmatrix} os autovalores são \pm\varepsilon). Juntando com o valor do eixo x (que é 0), os três autovalores (deformações principais) em P são
Se quiser os autovetores (direções principais): para \varepsilon_2=2{,}5\times10^{-3} o autovetor no subespaço y\mbox{-}z é proporcional a (1,1) (direção que combina y e z igualmente); para \varepsilon_3=-2{,}5\times10^{-3} o autovetor é proporcional a (1,-1); e para \varepsilon_1=0 o autovetor é o eixo x.]
Resposta
a) \displaystyle \varepsilon_{xx}=0,\quad \varepsilon_{yy}=0,\quad \varepsilon_{zz}=0,\quad
\varepsilon_{xy}=\left(\dfrac{2z}{a}\right)10^{-3},\quad
\varepsilon_{yz}=\left(\dfrac{x+2y}{a}\right)10^{-3},\quad
\varepsilon_{zx}=\left(\dfrac{-2x+y}{a}\right)10^{-3}.
b) \displaystyle \varepsilon_{xx}(P)=0,\quad \varepsilon_{yy}(P)=0,\quad \varepsilon_{zz}(P)=0,\quad
\varepsilon_{xy}(P)=0,\quad \varepsilon_{yz}(P)=2{,}5\times10^{-3},\quad \varepsilon_{zx}(P)=0.
c) \displaystyle \text{Deformações principais em }P:\;0,\quad 2{,}5\times10^{-3},\quad -2{,}5\times10^{-3}.çõ