Dado uma barra isolante com carga q e comprimento L deduza o campo elétrico nos respectivos pontos P nas três posições abaixo.
a) O ponto p esta sobre um prolongamento do eixo da linha de cargas.
b) O ponto p esta a uma distancia perpendicular y no meio da barra L/2
c) O ponto p esta a uma distancia perpendicular y em uma posição qualquer da barra.

Passo 1

O enunciado fala de uma barra isolante de comprimento L com carga total q uniformemente distribuída. O que vamos usar é a definição de densidade linear de carga
lambda = qL
e o princípio da superposição, somando (integrando) as contribuições de um elemento infinitesimal de carga dq=lambda,dx até o ponto P. Precisamos usar as fórmulas do campo de um elemento de carga
dE = 14pivarepsilon0,dqr^2,r
ou, em coordenadas cartesianas,
dE = 14pivarepsilon0,lambda,dx(x^2+y^2)^3/2l(x,i+y,jr)

Passo 2

a) Ponto sobre o prolongamento do eixo da barra.
Colocamos a barra no eixo x de x=0 até x=L e o ponto P em x=a com a>L. Um elemento dq=lambda,dx em x gera
dEx = 14pivarepsilon0,lambda,dx(a-x)^2
na direção i. Integramos de 0 a L:
Ex = lambda4pivarepsilon0integral0^Ldx(a-x)^2 = lambda4pivarepsilon0l[1a-L-1ar]
Substituindo lambda=q/L,
Ex = 14pivarepsilon0,qLl(1a-L-1ar),
e o campo é E=Ex,i, apontando para fora da barra.

Passo 3

b) Ponto na distância perpendicular y ao meio da barra.
Agora a barra vai de x=-L/2 a x=+L/2 e P está em (0,y). Pelo simetria, as componentes horizontais se cancelam e sobra só Ey:
Ey = 2;14pivarepsilon0integral0^L/2lambda,y,dx(x^2+y^2)^3/2 = 2;lambda4pivarepsilon0;L/2yraiz(L/2)^2+y^2
Assim
Ey = 14pivarepsilon0,qL;Lyraiz(L/2)^2+y^2 = 14pivarepsilon0,qyraiz(L/2)^2+y^2,
e E=Ey,j, apontando para longe da barra.

Passo 4

c) Ponto a distância perpendicular y em posição qualquer ao longo da barra.
Seja P o ponto (0,y) e a barra vai de x=-a a x=+ (L-a). Um elemento dq=lambda,dx gera
dEx = lambda4pivarepsilon0,x,dx(x^2+y^2)^3/2, dEy = lambda4pivarepsilon0,y,dx(x^2+y^2)^3/2
Integramos de x=-a a x=L-a. Usando fórmulas padrão:
integral x,dx(x^2+y^2)^3/2 = -1raizx^2+y^2, integral dx(x^2+y^2)^3/2 = xy^2raizx^2+y^2,
obtemos
Ex = lambda4pivarepsilon0l[1raiza^2+y^2-1raiz(L-a)^2+y^2r],
Ey = lambda4pivarepsilon0;y;l[(L-a)+ay^2raiz(L-a)^2+y^2,raiza^2+y^2r] = lambda4pivarepsilon0l[L-ayraiz(L-a)^2+y^2+ayraiza^2+y^2r]
Substituindo lambda=q/L, isso dá o campo total
E=Ex,i+Ey,j.

Resposta

a) E = 14pivarepsilon0,qLl(1a-L-1ar)i.
b) E = 14pivarepsilon0,qyraiz(L/2)^2+y^2;j.
c) Ex = 14pivarepsilon0,qLl[1raiza^2+y^2-1raiz(L-a)^2+y^2r],
Ey = 14pivarepsilon0,qLl[L-ayraiz(L-a)^2+y^2+ayraiza^2+y^2r]

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