EXEMPLO 11: Uma carga elétrica Q está distribuida uniformemente em torno de um fio retilineo ou sobre uma barra fina de comprimento 2 n. Calcule o potencial ao longo da reta perpendicular passando no centro da barra num ponto P, situado a uma distancia x

Passo 1

O enunciado dá uma barra fina de comprimento 2n com carga total Q uniformemente distribuída. Queremos o potencial elétrico V em um ponto P que fica a uma distância x da barra, sobre a reta perpendicular que atravessa o seu centro. Isto envolve o potencial de uma distribuição contínua de carga e usamos
dV = 14pivarepsilon0,dqr
onde dq é o elemento de carga e r a distância de dq até P.

Passo 2

Escolhemos o eixo y ao longo da barra, com y=0 no centro, de modo que y varia de -n a n. A densidade linear de carga é
lambda = Q2n
Um elemento de carga é dq = lambda,dy, e a distância até P (que está em (x,0)) é
r = raizx^2 + y^2
Logo o potencial total é
V = integral-n^n dV = lambda4pivarepsilon0integral-n^ndyraizx^2+y^2

Passo 3

Para calcular
integral-n^ndyraizx^2+y^2
podemos usar a primitiva
integraldyraizx^2+y^2 = lnl|y + raizx^2+y^2r|
Assim
integral-n^ndyraizx^2+y^2 = lnl(n + raizx^2+n^2r) - lnl(-n + raizx^2+n^2r)
Como a barra é simétrica, também podemos escrever
integral-n^n = 2integral0^n Longrightarrow 2integral0^ndyraizx^2+y^2 = 2l[lnl(n+raizx^2+n^2r)-ln(x)r]

Passo 4

Substituindo tudo em V, usando a forma simétrica, obtemos
V = lambda4pivarepsilon0cdot 2l[lnl(n+raizx^2+n^2r)-ln(x)r] = lambda2pivarepsilon0ln!l(n+raizx^2+n^2xr)
Por fim, lambda=Q/(2n) leva a
V(x) = Q4pivarepsilon0,n, ln!l(n+raizx^2+n^2xr)

Resposta

V(x) = Q4pivarepsilon0,n ln!l(n+raizx^2+n^2xr)

Exercícios relacionados