Um dado binário é transmitido como um sinal s, que é -1 ou +1 . O canal de comunicação corrompe a transmissão com um ruído aditivo normal com média mu=0 e variância sigma^2=2.1. O receptor conclui que o sinal -1 (ou +1 ) foi transmitido se o valor recebido foi <0 (ou >= 0, respectivamente).
Qual é a probabilidade do receptor classificar um sinal de forma errônea?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de detecção em canal AWGN: o transmissor envia sin-1,+1 com probabilidade igual, o canal adiciona um ruído NsimN(0,sigma^2) com sigma^2=2.1, e o receptor decide hat s=+1 se o sinal recebido r>=0 ou hat s=-1 se r<0. Queremos a probabilidade de erro
Conteúdo usado: propriedades da distribuição normal e função Q.

Passo 2

Considere que s=+1. Então
r = +1 + N sim N(1,,sigma^2)
O erro ocorre se r<0, isto é N< -1. Logo
Pemid +1 = P(N< -1) = Pl(tfracNsigma< -tfrac1sigmar) = Phil(-tfrac1sigmar) = Ql(tfrac1sigmar),
com sigma=raiz2.1.

Passo 3

Considere que s=-1. Então
r = -1 + N sim N(-1,,sigma^2)
O erro ocorre se r>=0, isto é N>= +1. Logo
Pemid -1 = P(N>= +1) = Ql(tfrac1sigmar)

Passo 4

Como s=+1 e s=-1 são equiprováveis, a probabilidade total de erro é
Pe =tfrac12l(Pemid +1+Pemid -1r) =Q!l(tfrac1sigmar) =Q!l(tfrac1raiz2.1r)

Passo 5

Calculando numericamente, raiz2.1approx1.449 e 1/1.449approx0.690. Da tabela normal
Q(0.690)approx0.245

Resposta

A probabilidade de erro é
Pe = Q!l(1/raiz2.1r)approx0.245

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