As chamadas telefônicas que ocorrem em uma central são consideradas aleatórias, pode se dizer que essas chamadas são independentes entre elas pois os clientes que fazem essas ligações não estão cientes sobre a ligações dos outros clientes. Após uma breve análise do histórico dos dados dessas ligações constatou-se que a média do tempo entre essas chamadas era igual a 18.4 minutos.
Se não houvesse uma chamada em 10 minutos, qual seria a probabilidade de o tempo, até a próxima chamada, ser menor que 5 minutos? square

Passo 1

O enunciado fala de chegadas de chamadas em uma central que são independentes e segue um processo de Poisson. O tempo entre chamadas, digamos T, é modelado por uma distribuição exponencial com média E[T]=18,4 minutos. Queremos a probabilidade condicional de que o tempo adicional até a próxima chamada seja menor que 5 minutos, dado que não houve nenhuma chamada nos primeiros 10 minutos.

Passo 2

Para uma variável exponencial T com média E[T]=mu, a taxa é
lambda = 1mu
Aqui mu=18,4, logo
lambda = 118,4 (por minuto)

Passo 3

A distribuição exponencial tem a propriedade de falta de memória, ou seja,
P(T>t+s mid T>t) = P(T>s)
No nosso caso, após não ter chamada em 10 minutos ( T>10), a probabilidade de ocorrer a próxima chamada em menos de 5 minutos é
P(T-10<5 mid T>10) = P(T<5)

Passo 4

A função de distribuição acumulada da exponencial é
P(T<x) = 1 - e^-lambda x
Portanto, para x=5,
P(T<5) = 1 - e^-lambda cdot 5

Passo 5

Substituindo lambda=1/18,4, obtemos
P(T<5) = 1 - exp!l(-5cdot118,4r) = 1 - exp!l(-tfrac518,4r) approx 1 - e^-0,2717 approx 0,2387

Resposta

P(T-10<5 mid T>10) = 1 - e^-5/18,4 approx 0,239

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