Dado que \boldsymbol{J}=10^{4}\left(x^{2}+y^{2}\right) \boldsymbol{a}_{z} A / m^{2}, determine:
(a) a densidade de corrente em (-3, 4, 6)
(b) a taxa de aumento da densidade volumétrica de cargas em (1, -2, 3)
(c) a corrente que atravessa um disco de raio de 5mm colocado no plano a-y e centrado na origem.

Passo 1

O enunciado dá o campo de densidade de corrente
\mathbf{J} = 10^{4}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,\mathbf{a}_{z}\\ \text{A/m}^{2}
e pede:
(a) o valor de \mathbf{J} em (-3,4,6);
(b) a taxa de variação temporal da densidade volumétrica de carga em (1,-2,3);
(c) a corrente que atravessa um disco de raio 5\text{ mm} no plano xy centrado na origem.
Para (b) vamos usar a equação da continuidade
\nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0,
e para (c) faremos a integral de superfície
I = \iint_{\text{disco}} \mathbf{J}\cdot\mathbf{n}\,dS.

Passo 2

Para (a) basta substituir x=-3, y=4 em \mathbf{J}. Como \mathbf{J} só tem componente em \mathbf{a}_{z},
J_{z} = 10^{4}\bigl((-3)^{2} + 4^{2}\bigr) = 10^{4}(9 + 16) = 10^{4}\cdot 25 = 2{,}5\times 10^{5}.
Logo
\mathbf{J}(-3,4,6) = 2{,}5\times 10^{5}\,\mathbf{a}_{z}\\ \text{A/m}^{2}.

Passo 3

Para (b) calculamos o divergente de \mathbf{J}. Como
\mathbf{J} = (0)\,\mathbf{a}_{x} + (0)\,\mathbf{a}_{y} + 10^{4}(x^{2}+y^{2})\,\mathbf{a}_{z},
temos
\nabla\cdot\mathbf{J} = \frac{\partial 0}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z}\bigl[10^{4}(x^{2}+y^{2})\bigr] = 0 + 0 + 0 = 0.
Pela continuidade,
\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\,\nabla\cdot\mathbf{J} = 0.
Isso vale em todo ponto do espaço, então em (1,-2,3) a taxa de aumento é zero.

Passo 4

Para (c) o disco está no plano xy, cuja normal é \mathbf{a}_{z}. Então
I = \iint_{\text{disco}} \mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_{z}\,dS = \iint_{r\le R} 10^{4}r^{2}\,dS,
onde R=5\times10^{-3} m e r^{2}=x^{2}+y^{2}. Em coordenadas polares dS = r\,dr\,d\theta, logo
I = 10^{4}\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R} r^{2}\,r\,dr\,d\theta = 10^{4}\,2\pi \int_{0}^{R} r^{3}dr = 10^{4}\,2\pi \frac{R^{4}}{4} = \frac{\pi}{2}\,10^{4}R^{4}.
Substituindo R=5\times10^{-3} m:
I = \frac{\pi}{2}\,10^{4}\,(5\times10^{-3})^{4} \approx 9{,}82\times10^{-6}\\ \text{A}.

Resposta

(a) \mathbf{J}(-3,4,6) = 2{,}5\times 10^{5}\,\mathbf{a}_{z}\\ \text{A/m}^{2}.
(b) \displaystyle \frac{\partial\rho}{\partial t}(1,-2,3)=0\\ \text{C/(m}^{3}\!\cdot\!\text{s)}.
(c) \displaystyle I = \frac{\pi}{2}\,10^{4}\,(5\times10^{-3})^{4}\approx9{,}82\times10^{-6}\\ \text{A}.

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