Demostre que os seguintes potenciais satisfazem a equação de Laplace:
V=e^{-5 x} \cos 13 y \operatorname{sinh} 12 z

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o potencial
V = e^{-5x}\,\cos(13y)\,\operatorname{sinh}(12z)
satisfaz a equação de Laplace, isto é,
\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0.
Vamos calcular cada derivada de segunda ordem e somá-las.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}. Primeiro
\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-5x}\bigr)\,\cos(13y)\,\operatorname{sinh}(12z) = -5\,e^{-5x}\,\cos(13y)\,\operatorname{sinh}(12z).
Derivando novamente em x:
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-5\,e^{-5x}\,\cos(13y)\,\operatorname{sinh}(12z)\Bigr) = 25\,e^{-5x}\,\cos(13y)\,\operatorname{sinh}(12z).

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}. Primeiro
\frac{\partial V}{\partial y} = e^{-5x}\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(13y)\bigr)\,\operatorname{sinh}(12z) = -13\,e^{-5x}\,\sin(13y)\,\operatorname{sinh}(12z).
Derivando de novo em y:
\frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-13\,e^{-5x}\,\sin(13y)\,\operatorname{sinh}(12z)\Bigr) = -169\,e^{-5x}\,\cos(13y)\,\operatorname{sinh}(12z).

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial^2 V}{\partial z^2}. Primeiro
\frac{\partial V}{\partial z} = e^{-5x}\,\cos(13y)\,\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\operatorname{sinh}(12z)\bigr) = 12\,e^{-5x}\,\cos(13y)\,\operatorname{cosh}(12z).
Derivando novamente em z:
\frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z}\Bigl(12\,e^{-5x}\,\cos(13y)\,\operatorname{cosh}(12z)\Bigr) = 144\,e^{-5x}\,\cos(13y)\,\operatorname{sinh}(12z).

Passo 5

Somando todas as segundas derivadas:
\nabla^2 V = \bigl(25 - 169 + 144\bigr)\,e^{-5x}\,\cos(13y)\,\operatorname{sinh}(12z) = 0\,\cdot e^{-5x}\,\cos(13y)\,\operatorname{sinh}(12z) = 0.
Como a soma é zero, concluímos que V satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

O potencial
V = e^{-5x}\,\cos(13y)\,\operatorname{sinh}(12z)
satisfaz \nabla^2 V = 0, isto é, satisfaz a equação de Laplace.

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