Demostre que os seguintes potenciais satisfazem a equação de Laplace:
Passo 1
O enunciado dá o potencial em coordenadas cilíndricas
e pede para mostrar que ele satisfaz a equação de Laplace
Em coordenadas cilíndricas o operador Laplaciano é
Vamos calcular cada termo.
Passo 2
Calculemos primeiro a parte radial.
Logo
e assim
Passo 3
Agora a parte em
.
Portanto
Passo 4
Finalmente, a parte em
. Como
é linear em
,
Passo 5
Somando os três termos do Laplaciano:
Logo
.
Resposta
O potencial
satisfaz de fato a equação de Laplace
.