Demostre que os seguintes potenciais satisfazem a equação de Laplace:
V=Z \cos \varphi / \rho

Passo 1

O enunciado dá o potencial em coordenadas cilíndricas
V(\rho,\varphi,z)=\frac{z\cos\varphi}{\rho}
e pede para mostrar que ele satisfaz a equação de Laplace
\nabla^2 V=0.
Em coordenadas cilíndricas o operador Laplaciano é
\nabla^2 V =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\!\Bigl(\rho\,\frac{\partial V}{\partial \rho}\Bigr) +\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 V}{\partial \varphi^2} +\frac{\partial^2 V}{\partial z^2}.
Vamos calcular cada termo.

Passo 2

Calculemos primeiro a parte radial.
\frac{\partial V}{\partial \rho} =\frac{\partial}{\partial \rho}\Bigl(\frac{z\cos\varphi}{\rho}\Bigr) =-\,\frac{z\cos\varphi}{\rho^2}.
Logo
\rho\,\frac{\partial V}{\partial \rho} =-\,\frac{z\cos\varphi}{\rho},
e assim
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\!\Bigl(\rho\,\frac{\partial V}{\partial \rho}\Bigr) =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\Bigl(-\frac{z\cos\varphi}{\rho}\Bigr) =\frac{1}{\rho}\,\frac{z\cos\varphi}{\rho^2} =\frac{z\cos\varphi}{\rho^3}.

Passo 3

Agora a parte em \varphi.
\frac{\partial V}{\partial \varphi} =\frac{\partial}{\partial \varphi}\Bigl(\frac{z\cos\varphi}{\rho}\Bigr) =-\,\frac{z\sin\varphi}{\rho},
\frac{\partial^2 V}{\partial \varphi^2} =\frac{\partial}{\partial \varphi}\Bigl(-\frac{z\sin\varphi}{\rho}\Bigr) =-\,\frac{z\cos\varphi}{\rho}.
Portanto
\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 V}{\partial \varphi^2} =-\frac{z\cos\varphi}{\rho^3}.

Passo 4

Finalmente, a parte em z. Como V é linear em z,
\frac{\partial^2 V}{\partial z^2} =0.

Passo 5

Somando os três termos do Laplaciano:
\frac{z\cos\varphi}{\rho^3} \;+\;\Bigl(-\frac{z\cos\varphi}{\rho^3}\Bigr) \;+\;0 \;=\;0.
Logo \nabla^2 V=0.

Resposta

O potencial V=\dfrac{z\cos\varphi}{\rho} satisfaz de fato a equação de Laplace \nabla^2 V=0.

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