Dado um
-espaço vetorial
, denote por
o conjunto
visto como um
-espaço vetorial.
(a) Prove que se
é um subconjunto LI de
, então
e
são subconjuntos LI de
.
(b) Prove que se
é uma base de
, então
é uma base de
.
(a) Prove que se
(b) Prove que se
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
sobre
e o mesmo conjunto
, agora visto como espaço vetorial sobre
, denotado por
.
(a) Queremos mostrar que, se é linearmente independente (LI) em
sobre
, então
(a) Queremos mostrar que, se
-
é LI em sobre . -
é LI em .
(b) Seé base de sobre , provar que é base de .
Passo 2
Provar que
é LI em
.
Suponha que, para certos escalares reais , valha
Suponha que, para certos escalares reais
Mas essa combinação é também uma combinação linear em
sobre
, pois cada
. Como
é LI em
sobre
, segue
para todo
. Portanto
é LI em
.
Passo 3
Provar que
é LI em
.
Suponha que existam escalares reais e
tais que
Suponha que existam escalares reais
Agrupando, isso é
na estrutura de
sobre
. Pela independência linear em
sobre
temos
Daí
e
. Logo todos os
e
são zero, provando a independência linear do conjunto aumentado em
.
Passo 4
Provar que
gera
.
Seja . Como
é base de
sobre
, existem
tais que
Seja
Escrevendo cada
com
, obtemos
isto é, uma combinação linear real dos vetores
. Portanto esse conjunto gera
.
Resposta
(a) Já demonstramos que
e
são LI em
.
(b) Como mostramos também que gera
, concluímos que esse conjunto é base de
.
(b) Como mostramos também que