Dado um C-espaço vetorial V, denote por VR o conjunto V visto como um R-espaço vetorial.
(a) Prove que se v1, v2, ldots, vn é um subconjunto LI de V, então v1, v2, ldots, vn e v1, v2, ldots, vn cup i v1, i v2, ldots, i vn são subconjuntos LI de VR.
(b) Prove que se v1, v2, ldots, vn é uma base de V, então v1, v2, ldots, vn cupi v1, i v2, ldots, i vn é uma base de VR.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial V sobre C e o mesmo conjunto V, agora visto como espaço vetorial sobre R, denotado por VR.
(a) Queremos mostrar que, se v1,dots,vn é linearmente independente (LI) em V sobre C, então
  1. v1,dots,vn é LI em VR sobre R.
  2. v1,dots,vn,,i v1,dots,i vn é LI em VR.
    (b) Se v1,dots,vn é base de V sobre C, provar que v1,dots,vn,,i v1,dots,i vn é base de VR.

Passo 2

Provar que v1,dots,vn é LI em VR.
Suponha que, para certos escalares reais a1,dots,aninR, valha
sumk=1^nakvk=0em VR
Mas essa combinação é também uma combinação linear em V sobre C, pois cada akinC. Como v1,dots,vn é LI em V sobre C, segue ak=0 para todo k. Portanto v1,dots,vn é LI em VR.

Passo 3

Provar que v1,dots,vn,,i v1,dots,i vn é LI em VR.
Suponha que existam escalares reais a1,dots,an e b1,dots,bn tais que
sumk=1^nakvk ;+;sumk=1^nbk,i vk;=;0
Agrupando, isso é
sumk=1^n(ak+i,bk),vk;=;0
na estrutura de V sobre C. Pela independência linear em V sobre C temos
ak+i,bk=0forall k
Daí Re(ak+i,bk)=ak=0 e Im(ak+i,bk)=bk=0. Logo todos os ak e bk são zero, provando a independência linear do conjunto aumentado em VR.

Passo 4

Provar que v1,dots,vn,,i v1,dots,i vn gera VR.
Seja xin V. Como v1,dots,vn é base de V sobre C, existem c1,dots,cninC tais que
x ;=;sumk=1^nckvk
Escrevendo cada ck=ak+i,bk com ak,bkinR, obtemos
x=sumk=1^nakvk;+;sumk=1^nbk,i vk,
isto é, uma combinação linear real dos vetores v1,dots,vn,i v1,dots,i vn. Portanto esse conjunto gera VR.

Resposta

(a) Já demonstramos que v1,dots,vn e v1,dots,vn,,i v1,dots,i vn são LI em VR.
(b) Como mostramos também que v1,dots,vn,,i v1,dots,i vn gera VR, concluímos que esse conjunto é base de VR.

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