Verifique se os polinômios e são L.I ou L.D. Exprima o polinômio como combinação linear dos polinômios e .
Mostre que os polinômios e formam uma base de . Exprima o polinômio como combinação linear dos elementos dessa base
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Verificar se os polinômios
são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.) em , e tentar escrever
como combinação linear de .
2) Mostrar que
formam base de e, em seguida, expressar
nessa base.
Conteúdo: definição de independência linear e base em espaços de polinômios, e resolução de sistemas para achar coeficientes de combinações lineares.
Passo 2
Para checar L.I. dos
Isso equivale a
Igualando coeficientes em cada grau, temos o sistema
Da primeira equação c=0. Da segunda vem b=2. Da quarta, a=6. Mas a+b=-5 implicaria 6+2=-5, o que é impossível.
Portanto não existe combinação linear de p1,p2,p3 que produza 2x^2-5x+6.
Passo 4
Agora, para
q1=1,;q2=x-1,;q3=x^2-3x+1
em P2, note que são três polinômios de graus 0,1,2 e o espaço P2 tem dimensão 3. Basta ver que são L.I.:
produz um sistema trigonal com única solução trivial alpha=beta=gamma=0. Logo formam base de P2.
Passo 5
Para expressar
nessa base, colocamos
Expandindo:
Igualando aos coeficientes de
Da primeira leva a . Por fim,
dá .
Resposta
(a) Os polinômios p1,p2,p3 são linearmente independentes, mas não geram 2x^2-5x+6, pois o sistema de coeficientes não admite solução.
(b) Os polinômios 1,;x-1,;x^2-3x+1 formam base de P2 e