Verifique se os polinômios p1=1+x, p2=x+x^2 e p3=x^2+x^3 são L.I ou L.D. Exprima o polinômio 2 x^2-5 x+6 como combinação linear dos polinômios p1, p2 e p3.
Mostre que os polinômios 1, x-1 e x^2-3 x+1 formam uma base de P2. Exprima o polinômio 2 x^2-5 x+6 como combinação linear dos elementos dessa base

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Verificar se os polinômios
    ,p1=1+x,;p2=x+x^2,;p3=x^2+x^3
    são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.) em P3, e tentar escrever
2x^2-5x+6
como combinação linear de p1,p2,p3.
2) Mostrar que
1,;x-1,;x^2-3x+1
formam base de P2 e, em seguida, expressar
2x^2-5x+6
nessa base.
Conteúdo: definição de independência linear e base em espaços de polinômios, e resolução de sistemas para achar coeficientes de combinações lineares.

Passo 2

Para checar L.I. dos
Isso equivale a
Igualando coeficientes em cada grau, temos o sistema
Daqui segue são linearmente independentes.

Passo 3

Tentamos escrever
2x^2-5x+6 =a,p1+b,p2+c,p3 =a(1+x)+b(x+x^2)+c(x^2+x^3)
Expandindo, obtemos
a + (a+b)x + (b+c)x^2 + c,x^3 ;=;6 -5x +2x^2 +0,x^3
Isto gera o sistema
c=0, b+c=2, a+b=-5, a=6
Da primeira equação c=0. Da segunda vem b=2. Da quarta, a=6. Mas a+b=-5 implicaria 6+2=-5, o que é impossível.
Portanto não existe combinação linear de p1,p2,p3 que produza 2x^2-5x+6.

Passo 4

Agora, para
q1=1,;q2=x-1,;q3=x^2-3x+1
em P2, note que são três polinômios de graus 0,1,2 e o espaço P2 tem dimensão 3. Basta ver que são L.I.:
alpha,q1+beta,q2+gamma,q3 =alpha+beta(x-1)+gamma(x^2-3x+1)equiv0
produz um sistema trigonal com única solução trivial alpha=beta=gamma=0. Logo formam base de P2.

Passo 5

Para expressar
nessa base, colocamos
Expandindo:
Igualando aos coeficientes de
Da primeira leva a . Por fim,
.

Resposta

(a) Os polinômios p1,p2,p3 são linearmente independentes, mas não geram 2x^2-5x+6, pois o sistema de coeficientes não admite solução.
(b) Os polinômios 1,;x-1,;x^2-3x+1 formam base de P2 e
2x^2-5x+6 =5cdot1 ;+;1cdot(x-1);+;2cdot(x^2-3x+1)

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