Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial S=(x, y, z) in R^3 mid 2 x+y+z=0.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S = (x,y,z)inR^3 mid 2x + y + z = 0
Queremos encontrar a dimensão de S e um conjunto de vetores que forme uma base. Para isso, vamos escrever a condição 2x+y+z=0 em forma paramétrica.

Passo 2

Da equação
2x + y + z = 0
isolamos z:
z = -2x - y
Logo, um vetor arbitrário em S pode ser escrito como
(x,y,z) = l(x,y,-2x - yr) = x,(1,0,-2) ;+; y,(0,1,-1)

Passo 3

Os vetores (1,0,-2) e (0,1,-1) são claramente linearmente independentes e geram todo S. Como há dois parâmetros livres ( x e y), a dimensão de S é 2 e esses dois vetores formam uma base.

Resposta

A dimensão de S é 2.
Uma base de S é (1,0,-2),,(0,1,-1).

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