Mostre que o conjunto S=(1,2,0),(1,3,2),(0,1,3) é uma base de R^3. Exprima o vetor (-13, 5,-1) como combinação linear dos elementos dessa base.
Mostre que o conjunto W=alpha v+beta u mid u, v in R^n, alpha, beta in R é um subespaço vetorial de R^n

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na primeira, pede para mostrar que
S=v1=(1,2,0),;v2=(1,3,2),;v3=(0,1,3)
é uma base de R^3 e, em seguida, expressar o vetor
l(-tfrac13,5,-1r) como combinação linear de v1,v2,v3.
Na segunda parte, define
W=alpha,v+beta,umid u,vinR^n,;alpha,betainR
e pede para mostrar que W é subespaço de R^n.
Precisaremos usar o critério de base via determinante (ou independência linear) e, para o subespaço, o teste de fechamento e 0in W.

Passo 2

Mostramos que v1,v2,v3 são linearmente independentes calculando o determinante da matriz que tem essas colunas:
M = 1 & 1 & 0 2 & 3 & 1 0 & 2 & 3
Calculamos
det(M) =1cdot(3cdot3-1cdot2) -1cdot(2cdot3-1cdot0) +0cdot(cdots) =1cdot(9-2)-1cdot6 =7-6 =1neq0
Como o determinante é não nulo, v1,v2,v3 são independentes e, sendo três vetores em R^3, formam uma base de R^3.

Passo 3

Para escrever
Isso gera o sistema
Da terceira equação vem
Substituindo em (x+y=-\tfrac{1}{3}] dá

Na segunda equação obtemos

Daí

Portanto

Passo 4

Agora mostramos que
W=alpha,v+beta,umid u,vinR^n,;alpha,betainR
é um subespaço de R^n. Observe que, dado qualquer winR^n, podemos escolher v=w, u=0, alpha=1, beta=0 e então
w=1cdot v+0cdot u;in W
Isso mostra que W=R^n. Como R^n é subespaço de si mesmo, concluímos que W é subespaço.

Resposta

S é base de R^3 porque det M=1neq0 e
(-tfrac13,5,-1) =-tfrac553,(1,2,0) +18,(1,3,2) -tfrac373,(0,1,3)
Além disso, W=R^n, logo é subespaço de R^n.

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