Dado
, com
, prove que
para todo inteiro
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Para um número real
, prove que
para todo inteiro
.”
Isso envolve desigualdades e a gente vai usar o princípio da indução matemática. Também precisamos lembrar que, se multiplicamos uma desigualdade por um número não-negativo, o sinal não muda.
Isso envolve desigualdades e a gente vai usar o princípio da indução matemática. Também precisamos lembrar que, se multiplicamos uma desigualdade por um número não-negativo, o sinal não muda.
Passo 2
(Caso base
)
Indução começa mostrando que a afirmação vale para .
Indução começa mostrando que a afirmação vale para
- À esquerda temos
. - À direita temos
.
Logo
A desigualdade
fica
, que é verdade. Caso base confirmado!
Passo 3
(Hipótese de indução)
Agora supõe que, para um certo , a desigualdade já vale:
Agora supõe que, para um certo
Isso é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
(Passo de indução)
Queremos mostrar que, a partir da hipótese, segue a mesma forma com
:
Começamos escrevendo
Pela hipótese,
. E como
(porque
), podemos multiplicar sem mudar o sinal:
[
(1+c)^{k+1}
;\ge;
(1 + k,c),\bigl(1+c\bigr)
1 + k,c + c + k,c^2
1 + (k+1),c + k,c^2.
]
]
Agora, note que
e
, então
. Isso dá
Juntando tudo, concluímos
que é exatamente o que queríamos.
Resposta
Pela indução matemática, mostramos que a desigualdade
vale para todo inteiro
, sempre que
.