Dado c in R, com c >=-1, prove que
(1+c)^n >= 1+n c
para todo inteiro n >= 0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Para um número real , prove que
para todo inteiro .”
Isso envolve desigualdades e a gente vai usar o princípio da indução matemática. Também precisamos lembrar que, se multiplicamos uma desigualdade por um número não-negativo, o sinal não muda.

Passo 2

(Caso base (1+c)^0 = 1 = 1 + 0cdot c )
Indução começa mostrando que a afirmação vale para .
  • À esquerda temos .
  • À direita temos .
    Logo
A desigualdade fica , que é verdade. Caso base confirmado!

Passo 3

(Hipótese de indução)
Agora supõe que, para um certo (1+c)^k ;>=; 1 + k,c , a desigualdade já vale:
Isso é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

(Passo de indução)
Queremos mostrar que, a partir da hipótese, segue a mesma forma com (1+c)^k+1 ;>=; 1 + (k+1),c :
(1+c)^k+1 = (1+c)^k cdot (1+c)
Começamos escrevendo
(1+c)^k+1 ;>=; (1 + k,c),l(1+cr) = 1 + k,c + c + k,c^2 = 1 + (k+1),c + k,c^2
Pela hipótese, 1 + (k+1),c + k,c^2 ;>=; 1 + (k+1),c . E como (1+c)^k+1;>=;1 + (k+1),c, (porque ), podemos multiplicar sem mudar o sinal:
[
(1+c)^{k+1}
;\ge;
(1 + k,c),\bigl(1+c\bigr)

1 + k,c + c + k,c^2

1 + (k+1),c + k,c^2.
]
Agora, note que e , então . Isso dá
Juntando tudo, concluímos
que é exatamente o que queríamos.

Resposta

Pela indução matemática, mostramos que a desigualdade
(1+c)^n ;>=; 1 + n,c
vale para todo inteiro , sempre que .

Exercícios relacionados