Podemos afirmar que para cada inteiro n >= 0, o número 2^n+(-1)^n+1 é divisível por 3 ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Para cada inteiro 2^n + (-1)^n+1 , será que o número
é sempre divisível por 3?”
Isso cai em Teoria dos Números, mais precisamente em congruências módulo 3. Para resolver a gente vai precisar entender o que significa “ser divisível por 3” em termos de resto (ou congruência), e usar a propriedade de potências em congruências.

Passo 2

Primeiro, revisando a teoria de congruência:
  • “Um número a equiv b pmod3 é divisível por a^k equiv b^k pmod3 ” quer dizer que o resto da divisão de por é zero, ou seja, .
  • Mais geral, se é divisível por 3, a gente escreve
  • E um truque importante: se , então para qualquer inteiro vale

Passo 3

Agora, note que
2 equiv -1 pmod3,
porque 2^n equiv (-1)^n pmod3 é múltiplo de 3.
Pela propriedade de potências, elevando ambos os lados a :

Passo 4

Nosso objetivo é ver se
2^n + (-1)^n+1 equiv 0 pmod3
Usando o que achamos:
2^n + (-1)^n+1 equiv (-1)^n + (-1)^n+1 pmod3
Fatorando :
(-1)^n + (-1)^n+1 = (-1)^n l(1 + (-1)r) = (-1)^n cdot 0 = 0
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2^n + (-1)^n+1 equiv 0 pmod3,
ou seja, é sempre múltiplo de 3.

Resposta

Sim! Para todo inteiro , o número é divisível por 3.

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