Podemos afirmar que para cada inteiro
, o número
é divisível por 3 ?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Para cada inteiro
, será que o número
é sempre divisível por 3?”
Isso cai em Teoria dos Números, mais precisamente em congruências módulo 3. Para resolver a gente vai precisar entender o que significa “ser divisível por 3” em termos de resto (ou congruência), e usar a propriedade de potências em congruências.
Isso cai em Teoria dos Números, mais precisamente em congruências módulo 3. Para resolver a gente vai precisar entender o que significa “ser divisível por 3” em termos de resto (ou congruência), e usar a propriedade de potências em congruências.
Passo 2
Primeiro, revisando a teoria de congruência:
- “Um número
é divisível por ” quer dizer que o resto da divisão de por é zero, ou seja, . - Mais geral, se
é divisível por 3, a gente escreve - E um truque importante: se
, então para qualquer inteiro vale
Passo 3
Agora, note que
porque
é múltiplo de 3.
Pela propriedade de potências, elevando ambos os lados a :
Pela propriedade de potências, elevando ambos os lados a
Passo 4
Nosso objetivo é ver se
Usando o que achamos:
Fatorando :
Logo
ou seja, é sempre múltiplo de 3.
Resposta
Sim! Para todo inteiro
, o número
é divisível por 3.