Dado que o cabo tem comprimento de 40 m , massa de 0,5 kg / m e estão fixos em 2 pontos de mesmo nível, com distância vertical de 8m. Determine a distância horizontal entre os pontos e a tensão horizontal TO.

Passo 1

O enunciado dá um cabo homogêneo de comprimento 40 m e densidade linear de massa mu=0,5 kg/m, preso em dois pontos de mesma altura, de modo que o ponto médio do cabo fica 8 m abaixo dos apoios. Precisamos achar a distância horizontal entre os apoios e a tensão horizontal T0 no ponto de mínimo da curva (catenária). Para isso, modelamos o cabo pela catenária
y(x)=al(cosh(tfracxa)-1r),
onde 2x0 é o vão horizontal total e a>0 parâmetro que satisfaz as condições de altura e comprimento conhecido.

Passo 2

A condição de altura em x=x0 é
al(cosh(tfracx0a)-1r)=8
A metade do comprimento do cabo é
integral0^x0raiz1+sinh^2(tfracxa),dx =integral0^x0cosh(tfracxa),dx =asinh(tfracx0a) =20
Definindo u=tfracx0a, obtemos o sistema
a(cosh u-1)=8, asinh u=20

Passo 3

Dividindo a primeira equação pela segunda tem-se
cosh u-1sinh u=820=25
Usando cosh u-1=2sinh^2(tfracu2) e sinh u=2sinh(tfracu2)cosh(tfracu2), chega-se a
tanhl(tfracu2r)=25 Longrightarrow tfracu2=arctanh(0,4)approx0,42365 Longrightarrow uapprox0,8473
Então
a=20sinh uapprox20sinh(0,8473)approx21,01 m

Passo 4

O vão horizontal total é
2x0=2a,uapprox2times21,01times0,8473approx35,60 m

Passo 5

A tensão horizontal no ponto de mínimo da catenária é
T0=a,w com w=mu g=0,5cdot9,81approx4,905 N/m,
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T0approx21,01times4,905approx103,0 N

Resposta

Distância horizontal entre os apoios: aproximadamente 35,6 m.
Tensão horizontal T0: aproximadamente 103 N.

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