Questão 1: Considere o seguinte problema
(a) Encontre a solução em série para o caso em que
f(x)=0 e
g(x)=1 .
(b) Encontre o valor exato de
u(1 / 4,9) para o caso em que
g(x)=0 e
f(x)=lll3 x & se & 0 <= x <= 12 2-x & se & 12 <= x <= 2
(b) Encontre o valor exato de
Passo 1
O enunciado é o problema de onda
O conteúdo é separação de variáveis (ou série de Fourier) para a equação da onda com condições de contorno de Dirichlet. Precisamos:
- Escrever a solução geral em série usando autovalores
.lambdan=(tfracnpi2)^2 - Ajustar coeficientes para cada caso de
ef .g - No item (b) usar a interpretação de d’Alembert / extensão ímpar periódica para calcular
de forma exata.u(1/4,9)
Passo 2
A solução geral por separação de variáveis é
As condições iniciais dão
Como
segue
Passo 3
Caso (a):
f(x)=0 e
g(x)=1 . Então
Bn=0 e
Calculando
logo
Portanto a solução é
Passo 4
Caso (b):
Como e
com
Em vez de computar a série inteira, usamos o método de d’Alembert com extensão ímpar de
e período
. Para onda com
e contorno Dirichlet em
, tem-se
onde
é a extensão ímpar de
em
e periódica de período
.
Passo 5
Repare que
t=9=2cdot4+1 , então
,u(x,9)=u(x,1) . Para
x=tfrac14 :
Como
tfrac54in[1/2,2] , vale
f(tfrac54)=2-tfrac54=tfrac34 . E pela extensão ímpar
com
tfrac34in[tfrac12,2] dando
f(tfrac34)=2-tfrac34=tfrac54 . Logo
Resposta
(a)
(b)