Questão 1: Considere o seguinte problema
ll ut t=ux x, & 0 <= x <= 2, t>0 u(0, t)=0=u(2, t), & t >= 0 ut(x, 0)=g(x) & 0 <= x <= 2 u(x, 0)=f(x) & 0 <= x <= 2
(a) Encontre a solução em série para o caso em que f(x)=0 e g(x)=1.
(b) Encontre o valor exato de u(1 / 4,9) para o caso em que g(x)=0 e f(x)=lll3 x & se & 0 <= x <= 12 2-x & se & 12 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado é o problema de onda
utt=uxx,&0<= x<= 2,;t>0, u(0,t)=u(2,t)=0,&t>=0, u(x,0)=f(x),&0<= x<=2, ut(x,0)=g(x),&0<= x<=2
O conteúdo é separação de variáveis (ou série de Fourier) para a equação da onda com condições de contorno de Dirichlet. Precisamos:
  1. Escrever a solução geral em série usando autovalores lambdan=(tfracnpi2)^2.
  2. Ajustar coeficientes para cada caso de f e g.
  3. No item (b) usar a interpretação de d’Alembert / extensão ímpar periódica para calcular u(1/4,9) de forma exata.

Passo 2

A solução geral por separação de variáveis é
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ansinl(tfracnpi2tr)+Bncosl(tfracnpi2tr)r)sinl(tfracnpi2xr)
As condições iniciais dão
u(x,0)=sumn=1^infty Bnsinl(tfracnpi2xr)=f(x), ut(x,0)=sumn=1^infty Annpi2sinl(tfracnpi2xr)=g(x)
Como
integral0^2sin^2l(tfracnpi2xr),dx=1,
segue
Bn=integral0^2f(x),sinl(tfracnpi2xr),dx, An=2npiintegral0^2g(x),sinl(tfracnpi2xr),dx

Passo 3

Caso (a): f(x)=0 e g(x)=1. Então Bn=0 e
An=2npiintegral0^2sinl(tfracnpi2xr),dx
Calculando
integral0^2sinl(tfracnpi2xr),dx =-2npil[cosl(tfracnpi2xr)r]0^2 =2npil(1-(-1)^nr),
logo
An=2npicdot2npil(1-(-1)^nr) =4n^2pi^2l(1-(-1)^nr)
Portanto a solução é
boxed u(x,t) =sumn=1^infty 4l(1-(-1)^nr)n^2pi^2 ;sin!l(tfracnpi2tr), sin!l(tfracnpi2xr)

Passo 4

Caso (b):
Como e
com
Em vez de computar a série inteira, usamos o método de d’Alembert com extensão ímpar de e período . Para onda com e contorno Dirichlet em , tem-se
onde é a extensão ímpar de em e periódica de período .

Passo 5

Repare que t=9=2cdot4+1, então ,u(x,9)=u(x,1). Para x=tfrac14:
ul(tfrac14,1r) =12l(F(tfrac14+1)+F(tfrac14-1)r) =12l(f(tfrac54)+F(-tfrac34)r)
Como tfrac54in[1/2,2], vale f(tfrac54)=2-tfrac54=tfrac34. E pela extensão ímpar
F(-tfrac34)=-f(tfrac34),
com tfrac34in[tfrac12,2] dando f(tfrac34)=2-tfrac34=tfrac54. Logo
ul(tfrac14,1r) =tfrac12l(tfrac34-tfrac54r) =tfrac12l(-tfrac12r) =-tfrac14

Resposta

(a)
u(x,t) =sumn=1^infty 4l(1-(-1)^nr)n^2pi^2 ;sin!l(tfracnpi2tr), sin!l(tfracnpi2xr)
(b)
ul(tfrac14,9r)=-tfrac14

Exercícios relacionados