Integre:
integral0^2 2 x1+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2 2x1+x^2,dx
Esse problema envolve o método de substituição, pois a derivada de 1+x^2 é exatamente 2x.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 1 + x^2,
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du = 2x,dx
Quando x=0, temos u=1. Quando x=2, temos u=1+2^2=5.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral0^2 2x1+x^2,dx = integralu=1^u=5 1u,du
A antiderivada de tfrac1u é ln|u|.

Passo 4

Calculando o valor definido:
integral1^5 1u,du = l[ln|u|r]1^5 = ln(5) - ln(1) = ln(5)

Resposta

ln(5)

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