Dado cada um dos sistemas lineares A \cdot X=B abaixo, classifique-os com relação ao número de soluções (sem solução; única solução; infinitas soluções). Sugestão: faça a análise do posto das matrizes.
A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 5 \\\\ 2 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right) ; \quad X=\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right) ; \quad B=\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema
A\,X = B,\quad A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5\\\\ 2 & 3 & 0\\\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix},\quad X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},
quanto ao número de soluções. O método sugerido é comparar o posto de A com o posto da matriz aumentada [A\mid B]. Se ambos os postos forem iguais a 3 (número de incógnitas), há solução única.

Passo 2

Vamos calcular \det(A). Usando expansão pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}3&0\\\ 0&3\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 1&3\end{pmatrix} +5\cdot\det\begin{pmatrix}2&3\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}3&0\\\ 0&3\end{pmatrix}=3\cdot3-0\cdot0=9, \quad \det\begin{pmatrix}2&0\\\ 1&3\end{pmatrix}=2\cdot3-0\cdot1=6,
\det\begin{pmatrix}2&3\\\ 1&0\end{pmatrix}=2\cdot0-3\cdot1=-3.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot9 +2\cdot6 +5\cdot(-3) =9 +12 -15 =6.

Passo 3

Como \det(A)=6\neq0, concluímos que \operatorname{rank}(A)=3.

Passo 4

Ao formar a matriz aumentada [A\mid B], o posto não pode exceder 3 e, como já temos \operatorname{rank}(A)=3, segue que
\operatorname{rank}([A\mid B])=3. Portanto,
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid B])=3
igual ao número de incógnitas, o que garante existência de uma única solução.

Resposta

O sistema tem única solução.

Exercícios relacionados